土塑性力学(6)

只能用建立的屈服条件去描述、结实材料的真实性状。屈服条件的多样性完全是由于材料的屈服性状复杂性造成的。

（3）几个屈服条件之间的关系：

（4） 稳定材料在平面的屈服曲线都处在双剪应力屈服条件和摩尔-库仑屈服条件之间。 （5） 材料抗压和抗拉强度变化时的双剪应力屈服条件和摩尔-库仑屈服条件。具有相同的

极限图形。

5.6 加载和卸载准则

1. 理想弹塑性材料的加载和卸载准则（见书上）

5.7 Drucker(杜拉克)塑性公设和伊留申塑性公设 结论意义：屈服面必定外凸（前者为加工硬化材料，后这所有材料） 一、Drucker(杜拉克)塑性公设

Drucker塑性公设可陈述为：对于处于某一状态下的材料单元，借助一个外部作用，在其原有的应力状态上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在附加应力的施加和卸除的循环内，附加应力所做的功是非负的。

00设在t?t0时，原来的应力状态为?ij，它可位在屈服面上，也在屈服面内。现假设?ij在

屈服面内，t?t1时，应力点正好到达屈服面上，此时应力为?ij，此后即为加载过程，直到

t?t2(t2?t1)。在t1~t2期间应力增加到

p?ij?d?ij，并产生塑性应变d?ij，然后卸0ijpd?ij去附加应力，在t?t3时应力又回到?。在这样的一个闭合的应力循环内，应力在弹性应变上所作的功为零，而塑性变形只在t1?t?t2内增加了一个小量d?ij。根据Drucker塑性公设，闭合的应力循环内，外部作用所做的功为：WD?(?ijp?ij?ijt1?ijd?ijt2?ijt0t3?ijO?ij??0ij?12d?ij)d?ij?0（5.7.1）

00?0，在上式中略去高阶项得到： (?ij如果?ij处在屈服面之内，?ij??ij??0ij)d?pij?0

（5.7.2）

00?0，有：d?ijd?如果?ij处在屈服面上，?ij??ijpij?0 （5.7.3）

30

??????? （1）下面说明以上两个不等式的几何意义。为此，我们将应力空间合应变空间的坐标重合。 式（5.7.2）表示：A0A?AB?0 （5.7.4） 0式中向量OA0,OA 分别表示?ij和?ij，向量AB,AC 分别表示d?ijp和d?ij。

这表示向量的夹角成锐角或直角。过A点作垂直于向量AB的平面，则式（5.7.4）要求A点必须在平面的一侧，这只有屈服面为外凸才有可能。如果屈服曲面是凹的，则A0点可能跑到平面的另一侧去，这与式（5.7.2）矛盾。因此，屈服曲面必须是外凸的。这里外凸包括屈服面是平的情况。

（2）其次讨论代表的向量AB的方向问题。设在屈服面A点的外法线向量为，如果响亮AB不与向量重合，则可以找到这样的，使式（5.7.4）不成立。只有向量AB和重合后，才能保证向量AB与向量A0A的夹角不会超过直角。这样，的方向就可以用数学形式表示成：

d?ij?d?p0

????ij （5.7.5）

式中：dλ—一非负的比例系数。

（3）下面讨论式（5.7.3）的几何意义。它可以写成两向量的点积大于等于零， AC?AB?0 （5.7.6）

它表示当d?ij不为零时，d?ij必须指向屈服面的外法线一侧，这就是加载准则，这时：

????ijpd?ij?0 （5.7.7）

如果d?ij不指向屈服面的外法线一侧，则只有d?ijp?0才不违反式（5.7.6）。这就是卸载准则或中性变载准则。

对于理想塑性材料，由于不能指向屈服面的外法线一侧，因此不论加载或卸载都有

d?ijd?pij?0 （5.7.8）

pij加载时图中向量AC与向量AB垂直，式（5.7.8）成立。卸载时，d?成立。

?0，式（5.7.8）也

由上述分析可知，塑性应变增量d?ij的方向只依赖于应力张量?ij，而与应力张量增量d?ij无关。但它的大小则与d?ij有关。

式（5.7.2）也称为稳定性条件，满足这个条件的材料（如理想弹塑性材料和加工硬化材料）称为稳定材料。

p 31

二、依留申塑性公设（同时适用于稳定和非稳定材料）

可陈述为：在弹塑性材料的一个应变循环内，附加应力做的功是非负的。如果做功是正的，表示有塑性变形发生。如果做功是零，则只有弹性变形发生。

5.8 塑性位势理论和流动规则

经过应力空间的任何一点M，必有一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势函数，记为： g(I1,J2,J3,H?)?0 （5.8.1） 或 g(?ij,H?)?0

塑性应变增量d?ijp可以用塑性位势函数对应力微分的表达式表示，即d?ijp式中：dλ—一非负的比例系数。

上式称为塑性位势理论。

上式表明一点的塑性应变增量与通过该点的塑性势面存在着正交关系，这就确定了塑性应变增量的方向，也就确定了塑性应变增量各分量的比值。

流动规则也称为正交定律，是确定塑性应变增量方向的一条规定。 1． 相关联的流动规则：在Drucker塑性公设的条件下，有：

d?ij?d?p?d??g??ij

????ij 式中：dλ—一非负的比例系数。

必然存在g??，即塑性势函数与屈服面函数（加载曲面函数）相同。

2． 不相关联的流动规则：塑性势函数与屈服面函数（加载曲面函数）不相同。 若屈服面存在有棱边和尖角，对应于在棱边和尖角处的塑性应变增量的方向尚需补充一些关系式。例如对于棱边上可采用右边和左边的塑性应变增量的线形组合。

d?ij?d?1p??1??ij?d?2????2ij

式中：?1和?2是棱边两边的屈服条件；dλ1和dλ2—一非负的比例系数。

上式表示棱边处的塑性应变增量方向相邻两屈服面的两条法线所组成的角度之间。在屈服面的光滑点上，塑性应变增量的方向是确定的。而在棱边处的塑性应变增量方向处于某一范围内。在求解具体问题过程中确定了比例系数dλ1和dλ2也就确定了塑性应变增量方向。 在应变空间，流动规则可用下式表示：

d?pij?d?????* 式中dμ—一非负的比例系数。

ij5.9 加工硬化规律

5.9.1等向硬化、运动硬化和混合硬化

对于加工硬化材料，后继屈服面的变化规律是很复杂的。等向硬化模型和运动硬化模型是最简单的两种硬化规律。下面先讨论这二种情况，然后再介绍混合硬化模型。 1． 等向硬化模型：

等向硬化模型假定后继屈服面的形状、中心和方位，与初始屈服面相同，后继屈服面的大小则随着加工硬化过程围绕其中心产生均匀的膨胀。等向硬化模型，也称作各向同性硬化模型。它是各种硬化模型中最简单的一种。 等向硬化后继屈服面可用下式表示：

?(?ij,H?)?F(?ij)?K?0

5.9.1

式子 H?和K—硬化系数，一般是塑性变形的函数，记作

32

K?H(?dwp)?H(??ijd?ijp) 5.9.2

当K=0时，表示刚开始屈服，这时F(?ij)?0，故F(?ij)?0就是初始屈服面。 对于初始屈服条件是von Mises屈服条件情况有：

F?J2?C?0 5.9.3

这时等向硬化加载函数变成为： ??J2?C?H(?dwp)?0 5.9.4

对于初始屈服条件是von Mises屈服条件时，它的等向硬化加载函数为：

???I1?J2?K?H(dw?p)?0 5.9.5

在应力空间中，这种后继屈服面的大小只与最大的应力状态有关，而与中间的加载路径无关。 适用范围： 当变形量不大或应力张量各应力分量之比变化不很大的情况下。 2． 运动硬化模型

运动硬化模型假定后继屈服面的大小，形状与初始屈服面相同，后继屈服面是由初始屈服面沿塑性变形方向或沿应力矢量方向移动形成。

?(?ij,H?)?F(?ij?aij)? aij称为移动张量，与塑性变形有关。在应力空间中表示屈

服面中心的坐标。

3． 混合硬化模型

由等向硬化模型和运动硬化模型组合而成，可以构成更一般的模型。

?(?ij,H?)?F(?ij?aij)?K?0

既有位置的改变，也产生均匀的膨胀。但计算复杂。 5.9.2 加工硬化规律

加工硬化规律是决定一个给定的应力增量引起塑性应变增量的一条规则。在流动规律中，d??1??ijA??d?ij 5.9.9

式中 A—硬化参数H?的函数。

1A称为塑性系数，表示屈服面扩大或移动一个单位所伴随的塑性应变增加量。

pij1． 塑性功Wp硬化规律假定 H??Wp??d?ijd?d??????ij 5.9.10

d?ij??????H?dHp?由d??0，得

?????ijd?ij??WP???WP?ijd?ij?ijd?

?g?0 5.9.11

?????ijd?ij???ij结合式5.9.9和5.9.11，得

A?(?1)???Wp??gij?? 5.9.12

?g??ijij若g为n阶齐次函数，根据欧拉齐次函数定理?ij?ng得

33

A?(?1)ng???Wp 5.9.14

2． 塑性应变?ijp硬化规律假定 H??H(?ijp) 5.9.15 3．?p硬化规律假定

H???p????p???ppij??ij

4．塑性体应变硬化规律假定 H??H(?vp)??vp 5．(?vp,?p)硬化规律假定 H??H(?vp,?p)??vp

5.10 塑性增量理论及一个弹塑性

模量张量普遍表达式

5.10.1 塑性增量理论 又称塑性流动理论，它把塑性变形看成是非线性流动。塑性增量理论把应变增量分为弹性应变增量和塑性应变增量两部分，即： d?ij?d?eij?d?pij 5.10.1

pij式中d?eij采用广义虎克定律计算，d?根据塑性增量理论计算。塑性增量理论主要包括三

部分：屈服面理论，加工硬化理论，和流动规则理论。应用塑性增量理论计算塑性应变：首先，要确定材料的屈服条件，对加工硬化材料需要确定初始屈服条件和后继屈服条件。其次，需要确定材料是否服从相关联流动规则。然后，还需要确定材料的硬化或软化规律。最后可运用流动规则理论确定塑性应变增量的方向，根据硬化规律计算塑性应变增量的大小。 5.10.2 一个普遍的弹塑性模量张量表达式 （1） 应力空间

d?ij?Dijkld??1kl 5.10.2

式中 Dijk—弹性模量张量。 l流动规则为： d?ijp?d??g??ij 5.10.3

将5.10.2、5.10.2代入5.10.1，得

d?ij或 两边同乘以

由式5.9.9，得：d?A

?????ij?Dijkld??1kl?d??g??ij 5.10.4 5.10.5

d??????mnDijkld?ij?d?kl?Dijkld??g??ij????kl得

????rsDrskld?kl?????ijijDmnuvd??g??uv

d?ij 5.10.6

????mn????rsDrskld?kl?d?(A?Dmnuv?g??uv)

ep结合式5.10.5得 d?ij?Dijkld?ij 5.10.7

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