五年级奥数解析第11-20讲 - 图文(8)

8,2?2???...?2除以10的余数为6；?? ?? ???8个2 也就是说,n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．

因为67÷4=16??3，所以2除以10的余数同余与2×2×2,即余数为8,所以?2?2...??2??????67个2除以10的余数为7． 2?2?2...??2?1??????67个2 即2??2?2...??2?1的个位数字为7． ?????67个2评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．

3.算式7+7×7+?+7?7???...?7计算结果的末两位数字是多少? ???1990个7 【分析与解】 我们只用算出7+7×7+?+77?7???...?7的和除以100的余数,即为其末两位数字． ???1990个7 7除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；

而7?7???...?7除以100的余数等于7?7???...?7?7的余数,即为7,?? ??????5个74个7 这样我们就得到一个规律7?7???...?7除以100所得的余数,4个数一循环,依次为7,49,43,1． ???n个7 1990÷4=497??2,所以7+7×7+?+7×7×??7?7???...?7的和除以100的余数同余． ???1990个7 497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56．

所以算式7+7×7+?+7?7???...?7计算结果的末两位数字是56． ???1990个7

4.1990?1990除以9的余数是多少?

【分析与解】 能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除,如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a而得到的新数一定能被9整除,因而这个新数

加上a后再除以9,所得的余数一定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数． 1990...1990?????的数字和为20×(1+9+9+0)＝380，380的数字和又是3+8=11,11除以9的余数为2,

20个1990所以1990...1990?????除以9的余数是2．

20个1990

5.将1,2,3，?,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?

【分析与解】 1,2,3,?,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456?910?15

?19202l?25?2930

记个位为第l位,十位为第2位,那么：

它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+?+l+9+8+7+6+?+1+9+7+5+3+l=115： 它的偶数位数字和为:3+2?2?????2?...?2+1?1?????1?...?1+8+6+4+2=53； ??????10个10个 它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62．而62除以1l的余数为7．

所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456?910?15?192021?25?2934就是1l倍数,则将123456?910?15?192021?25?2934减去4所得到数除以11的余数为7． 即这个51位数除以11的余数是7．

评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-B=C,再用C除以1l所得的余数即是原来那个数的余数.(如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和A,求得B-A=C,再求出C除以1l的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以11的余数)．

如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3．

又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的余数．

6.一个1994位的整数,各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位（从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?

【分析与解】 这个数即为333...3???，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两

1994个3个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．

显然有333333即333...3?＝333...333???＝333...333?????33??????33 ?????能够被13整除,而1994÷6=332??2，

6个31994个3332?6个32个3332?6个3

而333...33300?????是13的倍数，所以333...3???除以13的余数即为33除以13的余数为7．

332?6个31994个3 有333333??????13?25641,而333...33??????13?25641025641,所以333...33?????除以13所得的商每6个

6个312个3k个3数一循环,从左往右依次为2、5、6、4、1、0．

200÷6=33??2,所以除以333...3???所得商的第200位为5．333...3???除以13的个位即为33除以13

1994个31994个3的个位，为2．

即商的第200位(从左往右数)数字是5,商的个位数字是2,余数是7．

7.己知：a=199119911991...1991?????????.问:a除以13的余数是几?

1991个1991 【分析与解】 因为199119911991能被13整除,而1991÷3=663??2．

有

a=199119911991...1991?+199119911991×100...0?+199119911991×?????????=199119911991×100...01991个19917964－12个07964－12个000...0?+199119911991×1 00...0?+?+199119911991×1 00...0?+19911991

7964-36个07964-48个02?4个0所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．

8.有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几? 【分析与解】 我们将这个数加上7,则这个数能被3整除,同时也能被4整除,显然能被12整除,所以原来这个数除以12的余数为12-7=5．

9.某个自然数被247除余63,被248除也余63.那么这个自然数被26除余数是多少? 【分析与解】 我们将这个数减去63,则得到的新数能被247整除,也能被248整除,而相邻的两个整数互质,所以得到的新数能被247×248整除,显然能被26整除． 于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11．

所以这个自然数被26除余数是11．

10.一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少? 【分析与解】 这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为23n+7,则有19m+9=23n+7，即23n-19m=2，将未知数系数与常数对19取模,有4n≡2(mod 19)．

n最小取10时,才有4n≡2(mod 19).所以原来的那个自然数最小为23×lO+7=237．

评注：有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系,反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解．

11.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，

每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个孔? 【分析与解】 设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n能被7整除．

则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.

对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．

即这个圆圈上共有91个孔．

12.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，?,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除.已知这些电话的首位数字都小于6,并且门牌号码是9的这一家的电话号码也能被13整除,问这一家的电话号码是什么数? 【分析与解】 设这12个连续的自然数为n+1,n+2,n+3,?,n+12,那么有它们依次能被1,2,3,?,12整除,显然有凡能同时被1,2,3,?,12整除.即n为1,2,3,?,12的公倍数．

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[1,2,3,?,12]=2×3×5×7×11=27720,所以n是27720的倍数,设为27720k.则有第9家的门牌号码为27720k+9为13的倍数,即27720k+9=13A.将系数与常数对13取模有:4k+9≡0(mod 13),所以后可以取l或1与13的倍的和.

有要求n+1,n+2,n+3,?,n+12,为六位数,且首位数字都小于6,所以k只能取14,有7n=27720×14= 388080．

那么门牌号码是9的这一家的电话号码是388080+9=388089．

13.有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?

【分析与解】 设这包牙签有n根,那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包,还可以分成8、7、6、5根一包.

所以,n+1是10、9、8、7、6、5的倍数,即它们的公倍数．

32

[10,9,8,7,6,51=2×3×5×7=2520,即n+1是2520的倍数,在满足题下只能是2520×2=5040,所以n=5039．

即原来一共有牙签5039根．

14.有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?

【分析与解】 设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C． 63÷M=A??a 90÷M=B??b 130÷M=C??c

a+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283-25=258=(A+B+C)×M． 所以M是258的约数.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足．

而当除数M为43×2,43×3,43×2×3时,它除63的余数均是63,所以也不满足． 那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足．

显然这3个余数中最大的为20．

15.一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?

【分析与解】 这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．

1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=776,1133-551=582．

这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194．

所以,这个数最大可能为194．

各种具有一定综合性的直线形面积问题，重点是需要利用同底或同高的两三角形的面积相除的商等于对应高或对应底相除的商这一性质的问题，其中包括四边形和梯形被两条对角线分割而成的4个小三角形之间的面积关系．

1．图16-1中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍， EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?

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