五年级奥数解析第11-20讲 - 图文(4)

B地105—72=33千米，如下图所示．

而如果甲以20千米／小时的速度，乙的速度增加2千米／小时至22千米／小时，那么相遇点C距B地为：

105?22?55千米，如下图所示．

20?22

那么，当丙与甲相遇在距B地33千米的地方时，乙在距B地36千米的地方，而后丙行驶至C地(距B地55千米)时，乙也在C地，即相遇．

在这段时间内，乙行驶了55-36=19千米，而丙行驶了55-33=22千米，所以丙的速度为

20?

223?23千米／小时，如下图所示． 1919

9．从甲市到乙市有一条公路，它分成三段．在第一段上，汽车速度是每小时40千米；在第二段上，汽车速度是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时50千米．己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍，现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段从甲到乙方向的

1处相遇．那么，甲、乙两市相距多少千米? 3 【分析与解】设第一、二、三段公路的长度依次为a、b、c，有a=2c，如下图所示：

易知当另一汽车到达第二、三段交接点处，即行驶的路程为c时，一汽车行驶的路程为

40c，50而第一段长度为第三段长度的2倍，所以甲行驶至第一段的

402?2?a处,如下图所示． 505

2311b路程的时间内，一汽车行驶了a?b的距离，同时减去b的里程，则353313另一汽车行驶了b的路程，一汽车行驶了a的路程．

3531ab53 由两汽车行驶的时间相等知，即a:b=20：81，如下图所示· ?4090所以当另一汽车行驶

设第一段路程为20k，则第二段路程为81k，第三段路程为lOk；

1115 于是，一汽车跑至第二段时，所需时间为20k?40??81k?90?1，解得k?而甲乙

33335全程为20k+81k+10k=111k，有111??185．

3 所以甲、乙两市相距185千米．

10.甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛．两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为每秒8米，乙的速度为每秒6米．当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2米，乙的速度每秒减少0.5米．这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒增加O.5米，直到终点．那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米?

【分析与解】 对于这道题只能详细的分析逐步推算，以获得解答．

先求出当第一次甲追上乙时的详细情况，因为甲乙同向，所以为追击问题．

甲、乙速度差为8-6=2米／秒，当甲第一次追上乙时，甲应比乙多跑了一圈400米，即甲跑了400÷2×8=1600米，乙跑了400÷2×6=1200米．

相遇后，甲的速度变为8-2=6米／秒，乙的速度变为6-0.5=5．5米／秒·显然，甲的速度大于乙，所以仍是甲超过乙．

当甲第二次追上乙前，甲、乙速度差为6-5.5=0.5米／秒，追上乙时，甲应在原基础上再比乙多跑一圈400米，于是甲又跑了400÷0.5×6=4800米，乙又跑了400÷0.5×5.5=4400米．

甲第二次追上乙后，甲的速度变为6-2=4米／秒，乙的速度变为5.5-0.5= 5米／秒．显然，现在乙的速度大于甲，所以变为乙超过甲．

当乙追上甲时，甲、乙速度差为5-4=1米／秒，乙追上甲时，乙应比甲多跑一圈400米，于是甲又跑了400÷1×4=1600米，乙又跑了400÷1×5=2000米．。 这时甲的速度变为4+0.5=4.5米／秒，乙的速度变为5+0.5=5.5米／秒并以这样的速度跑完剩下的全程．

在这过程中甲共跑了1600+4800+1600=8000米，乙共跑了1200+4400+2000=7600米． 甲还剩下10000-8000=2000米的路程，乙还剩下10000-7600=2400米的路程．

显然乙先跑完全程，此时甲还剩下2000?4.5? 即当领先者到达终点时，另一人距终点3624004004??36米的路程． 5.511114米． 11 评注：此题考察了我们的分析问题的能力，也考察了我们对追击这一基本行程问题的熟练程度.

11.龟兔赛跑，全程5.2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米．乌龟不停地跑；但兔子却边跑边玩，它先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟，??．那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟?

【分析与解】 乌龟到达终点所需时间为5.2÷3×60=104分钟． 兔子如果不休息，则需要时间5.2÷20×60=15.6分钟． 而兔子休息的规律是跑1、2、3、?分钟后，休息15分钟．

因为15.6=1+2+3+4+5+0.6，所以兔子休息了5×15=75分钟，即兔子跑到终点所需时间为15．6+75=90．6分钟．

显然，兔子先到达，先乌龟104-90.6=13.4分钟达到终点．

12．A，B两地相距125千米，甲、乙二人骑自行车分别从A，B两地同时出发，相向而行．丙骑摩托车以每小时63千米的速度，与甲同时从A出发，在甲、乙二人间来回穿梭(与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回)．若甲车速度为每小时9千米，且当丙第二次回到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处)，甲、乙二人相距45千米．问：当甲、乙二人相距20千米时，甲与丙相距多少千米?

【分析与解】我们设乙的速度为9x，即甲的x倍． 当乙、丙第一次相遇的时候，设甲走了“1”，则乙走了“x”，丙走了“7”，所以有

125，此时甲、丙相距“7”-“1”=“6”． 7?x“6”“3”“21”“3” 这样丙第一次回到甲时，甲又向前行×9=,丙又行了“6”-，乙又行?63?9444“7”+“x”=125，于是“1”?“3”3了 ?x?“x”44“21”33312537?x 所以，甲、乙此时相距?“x”?“(7?x)”???(7?x)???125千米.

44447?x47?x

37?x 有丙第二次回到甲处的时，125千米的路程相当于百??125千米，即甲、乙相距

47?x?3?7?x???4??7?x???125?45，所以

????2167?x47?7?x??,,解得所以乙的速度为?x???257?x59?7?x?29x?9?7?7千米／小时． 937?x343 当第三次甲、丙相遇时，甲、乙相距??45???45??45?27千米．

47?x455381 当第四次甲、丙相遇时，甲、乙相距?27?千米，而题中甲、乙相距20千米，此时

55应在甲、丙第三次和第四次相遇的某个时刻．

8119 有20??千米，而甲、乙的速度比为9：7，所以甲从甲、丙第四次相遇处倒退

55199171千米即可． ??59?780又因为丙的速度是甲的7倍，所以丙倒退的路程应为甲的7倍，于是甲、丙相距171171?(7?1)??17.1千米 8010 当甲、乙二人相距20千米时,甲与丙相距17.1千米.

评注：甲从A地往B地出发，乙从B地往C出发，丙从A地开始在甲乙之间来回往返跑动． 当甲丙第1次相遇时所需的时间为t，(甲、丙同时出发时，算第0次相遇)

则甲丙第2次相遇时还所需的时间为

v丙?v甲v丙?v乙??t

v丙?v甲v丙?v乙2?v丙?v甲v丙?v乙?则甲丙第3次相遇时还所需的时间为????t

v?vv?v?丙甲丙乙?

?v?vv?v?则甲丙第n次相遇时还所需的时间为 ?丙甲?丙乙??v丙?v甲v丙?v乙?由此可知,丙在相邻的2次相遇之间所走路程为等比数列.

n?1?t

13．一辆小汽车与一辆大卡车在一段9千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行．已知小汽车的

速度是大卡车速度的3倍，两车倒车的速度是各自速度的

1，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路5程的4倍．如果小汽车的速度是每小时50千米，那么要通过这段狭路最少用多少小时? 【分析与解】

如果一辆车在倒车，另一辆的速度一定大于其倒军速度，即一车倒出狭路另一车也驶离狭路，倒车的车可立即通过．

99?4?7.2千米，大卡车倒车的路程为?1?1.8千米． 4?14?111110 小汽车倒车的路程为50??10千米／小时，大卡车倒车的速度为50???千米/小时

5353 小汽车倒车的路程为

当小汽车倒车时，倒车需7.2÷10=O.72小时，而行驶过狭路需9÷50=0.18小时，共需0．72

+0．18=0．9小时；

当大卡车倒车时，倒车需1.8?1050?0.54小时，而行驶过狭路需9??0.54小时，共330．54+0．54=1．08／小时．

显然当小轿车倒车时所需时间最少，需0.9小时．

14.在一个沙漠地带，汽车每天行驶200千米，每辆汽车载运可行驶24天的汽油．现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回．为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他的油给甲车．求甲车所能开行的最远距离． 【分析与解】

甲车尽可能行驶更远，则乙车离开甲车时，应保证甲车还有可行驶24天的汽油．

设此时乙车已行驶了x天，有甲也行驶了x天，乙返程也需要x天，有x+x+x+24=48，所以x=8，即乙车行驶8天后返程．

留下还可行驶8天的汽油，将剩下的24-8-8=8天的汽车给甲车．

所以加上开始的24天的汽油，甲车共得到24+8=32天的汽油．那么甲车单程最多可行驶32÷2=16天．

即甲车所能开行的最远距离为16×200=3200千米．

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