五年级奥数解析第11-20讲 - 图文(7)

子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；

求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.

8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？ 【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．

9.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?

22

【分析与解】 方法一:由题意知A可以写成3×5×a，B可以写成3×5×6,其中a、b为整数且只含质因子3、5.

即A:3×5,B=3+m×5,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0) 由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，

1+x

2+y

1

2+n

?x?2?x?1?x?01+221+12+11+02+4

,?或?所以?.对应A为3×5=675,3×5=1125,或3×5=46875；

?y?0?y?1?y?4由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以?1+0

2+2

?m?0.对应B为

?n?23×5=1875．

只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875． 那么A,B两数的和为675+1875=2550． 方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个

32

12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=3×5=675．

那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，

4

M=4.B=3×5=1875．

那么A,B两数的和为675+1875=2550．

10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?

【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2． 它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297???① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：

[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，

且(q1,q2)=1.????????????????????????②

综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1．

第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2； 第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=2×5,则ql=5,q2=4时满

2

足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33；

第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即qq2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；

一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2． 所以,这个两个自然数的差为33．

11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?

【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．

它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60????① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：

[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，

且(q1,q2)=1?????????????????????????②

联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k为非零整数)，

??a?b?kb?b?60 有?,即?k?1?b?60确定，则k确定，则kb即a确定

a,b?a,b?b?a?b?kb?60?????? 60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b可以等于2，3，4，5，6，10．12，

15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k为非零整数． 对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组．

进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20), (30,30)．

评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．

12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少? 【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半； 若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积． 则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828×2， 当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．

对9828分解质因数:9828=2×2×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．

则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有9828×2=2×2×2×3×3×3× 7×13．

13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．

所以,这三个数的和为26+27+28=81．

评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即[0,b]=a×b． 记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2．

有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a×(a+1)，(a+1)×(a+2)]=(a+1)× [a,a+2]．

因为a,a+2同奇同偶，

当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为 当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a×(a+2)．

a??a?2?2；

a??a?2??a为偶数??a?1?? 所以(a+1)×[a,a+2]=?. 2??a?1??a??a?2?a为奇数? 即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或

a?a?1??a?2?2

若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．

13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?

【分析与解】 对90分解质因数:90=2×3×3×5.

因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5． 因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2． 因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．

第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×3×5,则甲=2×3=18；

2

2

第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×3×5,则甲=2×3=18，

2

2

综上所需,甲为18．

评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．

3232

如a=2×3×5×7,b=2×3×5×7×11,则A、B的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即

332

[a,b]=2×3×5×7×11．

14.a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数

是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?

222

【分析与解】 由(a,b)=75=3×5,[a,b]=450=3×2×5=75×3×2,又a﹥b所以

?a?450或 ??b?75?a?2252

[b,c]=1050=2×3×5×7. ??b?150??a?450??450,75,c???75,c??15当 ? 时有 ?，因为两个数的最大公约数与最小公倍数

b?75????b,c???75,c??1050的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满

足；

?a?225?225150,，c?75,c?15????a?225???时有?当?,则c=105,c﹤b,满足,即?b?150为满足条件的为一

?b?150??c?105??b,c???150,c??1050?解．

那么c是105.

15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少? 【分析与解】 设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D=1111．

将1111分解质因数:1111=11×101,显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101． 综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．

评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己试试．

各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等．

1.号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘? 【分析与解】 因为两个数和的余数同余与余数的和． 有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1．

则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛； 126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l盘比赛,共5盘比赛； 173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛； 193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛． 所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘． 评注:两个数和的余数,同余与余数的和； 两个数差的余数,同余与余数的差； 两个数积的余数,同余与余数的积.

2.自然数2?2????2?...?2?1的个位数字是多少? ????67个2 【分析与解】 我们先计算2?2?????2?...?2的个数数字,再减去1即为所求.(特别的如果是O,那么???67个2减去1后的个位数字因为借位为9)

将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积．

有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2除以i0的余数为6；

2×2×2×2×2除以i0的余数为2,2?2???...?2除以10的余数为4,2?2???...?2除以10的余数为??????6个27个2

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库五年级奥数解析第11-20讲 - 图文(7)在线全文阅读。