五年级奥数解析第11-20讲 - 图文(6)

1不大于5道，所以总题数不超过30道.那么只能为12或24道． 611 当题目总数为12道时,小明答错的题为12×=3道，两人都答错的题为12×=2道，由容斥原

46因为总题数的

理知,小明、小亮都答对的题为12-3-5+2=6道,没有超过试题总数的一半6道,所以不满足； 当题目总数为24道时,小明答错的题为24×

11=6道,两人都答错的题为24×=4道,由容斥原理46知，小明、小亮都答对的题为24-6-5+4=17道,超过了试题总数的一半12道,满足．

所以小明、小亮都答对的题为17道．

9.巧克力每盒9块，软糖每盒11块.要把这两种糖分发给一些小朋友，每样糖每人一块.由于又来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖发的盒数就一样多.现在又来了一位小朋友，巧克力还要增加一盒.问最后共有小朋友多少人?

【分析与解】 没有加小朋友时，软糖全部发完，所以原来小朋友的人数是11的倍数； 又来了一个小朋友时，巧克力全部发完，所以原来小朋友人数加1是9的倍数． 而44是满足此条件的最小数，且满足原来软糖比巧克力少一盒的条件． 因此，原来小朋友有44人，最后有46人．

10.在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得的三位数比原数大870，那么原数是多少?

【分析与解】 设这个数是ab，则在数字之间添上6，变为a6b，有a6b-ab＝870，即(100a+60+b)-(10a+b)=90a+60=870,所以a=9，要求ab为质数,所以只能是97．

即原数是97．

11.大雪后的第一天,大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长,他俩的起点和走的方向完全相同.大亮每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,由于两人的脚步有重合,所以雪地上只留下60个脚印.求这个花圃的周长是多少米?

【分析与解】 因为[54,72]=216,所以每走216米,父子的脚印重合一次.即父亲走3步,大亮走4步后,只留下6个脚印．

现在有60个脚印,所以父亲走了60÷6×3=30步,即30×72=2160厘米=21.6米．

所以,这个花圃的周长是21.6米．

12.某乡水电站按户收取电费,具体规定是:如果每月用电不超过24度,就按每度9分钱收费；如果超过24度,超出的部分按每度2角钱收费.已知在某月中,甲家比乙家多交了电费9角6分钱(用电按整度计算),问甲、乙两家各交了多少电费?

【分析与解】 如果甲、乙两家用电均超过24度,那么他们两家的电费差应是2角钱的整数倍； 如果甲、乙两家用电均不超过24度，那么他们两家的电费差应是9分钱的整数倍．

现在9角6分既不是2角钱的整数倍,又不是9分钱的整数倍，所以甲家的用电超过了24度,乙家的用电不超过24度．

设甲家用了24＋x度电,乙家用了24-y度电，有20x+9y=96，得x=3，y=4．

即甲家用了27度电,乙家用了20度电,那么乙家应交电费20×9=180分=1元8角,则甲家交了180+96=276分=2元7角6分．

即甲、乙两家各交电费2元7角6分,1元8角．

13.团体游园购买公园门票的票价如表13-1所示.今有甲、乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费1142元.如合在一起作为一个团体购票,总计只付门票费864元．问这两个旅游团各有多少人?

【分析与解】 因为864>8×100,可知两团总人数超过100人，因而两团总人数为864÷8=108． 因为108×10=1080<1142，108×12=1296>1142，所以每个团的人数不会大于50人，也不会都小于50人，即一个团大于50人，另一个团小于50人．

当两团都大于50人，则分别付款时，应付108×10=1080元，实际多付了1142-1080=62元.这是少于50人的旅游团多付的钱．

因此，甲的人数为62÷(12-10)=31人，乙旅行团人数为108-31=77人．

14.一小、二小两校春游的人数都是10的整数倍，出行时两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满．现在知道，若两校都租用有14个座位的旅游车，则两校共需租用这种车72辆；若两校都租用19个座位的旅游车，则二小要比一小多租用这种车7辆.问两校参加这次春游的人数各是多少?

【分析与解】 设二小春游人数为m，一小春游人数为n．由已知乘19座面包车二小比一小多租用7辆.所以 19×6+1≤m-n≤19×8-1，即115≤m-n≤151．

又已知两校共需租用14座面包车72辆,所以 70×14+2≤m+n≤72×14，即982≤m+n≤1008． 同时已知m与n都是10的倍数,于是有

?m?n?120或130或140或150?m?570?m?570?m?560?m?560,?,? ?, 解得?,?另外四组因

n?430n?420n?440n?430m?n?990或1000?????为解得m、n不是10的倍数．

?m?570 经检验只有?满足．

n?430?所以，一小参加春游430人，二小参加春游570人．

15.某游客在10时15分由码头划出一条小船，他欲在不迟于13时回到码头．河水的流速为每小时1.4千米，小船在静水中的速度为每小时3千米，他每划30分钟就休息15分钟，中途不改变方向，并在某次休息后往回划.那么他最多能划离码头多远?

【分析与解】 从10时15分出发，不迟于13时必须返回，所以最多可划行2小时45分，即165分钟.165=4×30+3×15，最多可划4个30分钟，休息3个15分钟．

顺流速度为3+1.4=4.4千米/4,时；所以顺流半小时划行路程为4.4×0.5=2.2千米； 逆流速度为3-1.4=1.6千米/4,时；所以逆流半小时划行路程为1.6×0.5=0.8千米． 休息15分钟,则船顺流漂行的路程为1.4×0.25=0.35千米．

第一种情况:当开始顺流时,至少划行半小时,行驶2.2千米,而在休息的3个时问内船又顺流漂行0.35×3=1.05千米的路程,所以逆流返回时需划行2.2+1.05=3.25千米．

3.25÷1.6=2.03125小时=121.875分钟.即最少需30+15×3+121.875=196.875分钟>165分钟，来不及按时还船.不满足．

第二种情况:当开始逆流时,每逆流半小时,则行驶0.8千米,则3次逆流后,行驶了0.8×3=2.4千米，船在游客休息时顺流漂行了1.05千米,所以回划时只用划行2.4-1.05=1.35千米的路程,需1.35÷4.4≈0.3068小时≈18.41分钟.共需3×30+3×15+18.41=153.41分钟<165分钟,满足．

于是,只有第二种情况满足,此时最远的路程为休息了2次后第3次逆流所至的地点,为0.8×3-0.35×2=1.7千米．

所以,他最多能划离码头1.7千米．

一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．

1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?

【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=2×3×5；

360的约数可以且只能是2×3×5,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)． 因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．

22

我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,3,它们的和为(1+3+3),所以所有360约数的和为(1+3+3)×2×5；

我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,2,2,它们的和为(1+2+2+2)，所以所有360约数的和为(1+3+3)×(1+2+2+2)×5；

2

2

3

2

3

2

3

2

32

abc

yw

w

最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为

223

(1+3+3)×(1+2+2+2)×(1+5)．

于是,我们计算出值:13×15×6=1170． 所以,360所有约数的和为1170．

评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：

I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后

32

所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为2×5×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)

Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的

3323

积．如：21000=2×3×5×7,所以21000所有约数的和为(1+2+2+2)×

23

(1+3)×(1+5+5+5)×(1+7)=74880．

2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?

536

【分析与解】 设这个数为A,有A=2×3×5×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．

3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

【分析与解】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1

32

后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为2×5×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)

如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数． 由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?

18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为2222222

19,20,21,22,23,24,25．

即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．

4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?

【分析与解】 显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．

所以,最多可以分成14堆．

5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?

【分析与解】 为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．

所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．

6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?

【分析与解】 设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．

即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数． 有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30． 即在30分钟后,3人又可以相聚．

7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长跑3

113千米,中圈跑道长千米,外圈跑道长千米.甲每小时5481千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出2发点?

1121133则?3?小时,乙跑一圈需?4?小时,丙跑一圈需?5?5235416840213他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为,,的倍数,即它们的公倍数．

351640 【分析与解】 甲跑完一圈需

2,1,3??6?213??而?,,???6.

?351640??35,16,4?1所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.

评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分

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