二次函数难题压轴题中考精选 - 图文(3)

（1）求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标； （2）若四边形EAMD的面积为43，求直线PD的函数关系式；

（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

第二部分：答案

1．【答案】⑴ ∵抛物线经过点D(?∴?12?(?3)?c?23,92)

92

∴c=6.

⑵过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M， ∵AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC ∴DE=BF 又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE ∴△DEM≌△BFM

∴DM=BM 即AC平分BD ∵c=6. ∵抛物线为y??12x?6

2∴A（?23,0）、B（23,0）

39,） 24∵M是BD的中点 ∴M（

设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点

??33??23k?b?0k????10 解得?3?9k?b??b?9?4?2?5?331095?直线AC的解析式为y?x?.

⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=43，于是以A点为圆心，AB=43为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．

2．【答案】解：（1）∵ 四边形EFPQ是矩形，∴ EF∥QP． ∴ △AEF∽△ABC．

又∵ AD⊥BC， ∴ AH⊥EF． AHEF

∴ ＝

ADBC

AHx4

（2）由（1）得＝． AH＝x．

81054

∴ EQ＝HD＝AD－AH＝8－x，

5

444

∴ S矩形EFPQ＝EF2EQ＝x (8－x) ＝－x2＋8 x＝－（x－5）2＋20．

5554

∵ －＜0， ∴ 当x＝5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．

5（3）如图1，由（2）得EF＝5，EQ＝4．

图1

∴ ∠C＝45°， ∴ △FPC是等腰直角三角形． ∴ PC＝FP＝EQ=4，QC＝QP＋PC＝9．

分三种情况讨论：

① 如图2．当0≤t＜4时，

设EF、PF分别交AC于点M、N，则△MFN是等腰直角三角形．∴ FN＝MF＝t．

11

∴S＝S矩形EFPQ－SRt△MFN=20－t2＝－t2＋20；

22

②如图3，当4≤t<5时，则ME＝5－t，QC＝9－t． 1

∴ S＝S梯形EMCQ＝[（5－t）＋（9－t ）]34＝－4t＋28；

2

③如图4，当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC＝9－t． 11

∴ S＝S△KQC= (9－t)2＝( t－9)2．

22

图2 图3 图4 综上所述：S与t的函数关系式为： ?12??2t?20　(0≤t?4)，?S=??4t?28　（4≤t?5)， ?1?(t?9)2　（5≤t?9)．?2

1

3．【答案】解：（1）把O（0，0）、A（5，0)分别代入y＝x2＋bx＋c，

6

5?c?0，???b??,得?25解得?6

?5b?c?0.??c?0.?6?15∴ 该抛物线的解析式为y＝x2－x．

66

（2）点C在该抛物线上．

理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连结OC，设AC交OB于点E． ∵ 点B在直线y＝2x上， ∴ B(5，10) ∵ 点A、C关于直线y＝2x对称，

∴ OB⊥AC，CE＝AE，BC⊥OC，OC＝OA＝5，BC＝BA＝10． 又∵ AB⊥x轴，由勾股定理得OB＝55．

11

∵ SRt△OAB＝AE2OB＝OA·AB，

22

∴ AE＝25， ∴ AC＝45．

∵ ∠OBA十∠CAB＝90°，∠CAD＋∠CAB＝90°， ∴ ∠CAD＝∠OBA． 又∵ ∠CDA＝∠OAB＝90°， ∴ △CDA∽△OAB． ∴

CDADAC

＝＝ ∴ CD＝4，AD＝8 ∴ C（－3，4） OAABOB

15

当x＝－3时，y＝39－3(－3)＝4．

66

15

∴ 点C在抛物线y＝x2－x上．

66

（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切．

过点P作PF⊥x轴于点F，连结O1P，过点O1作O1H⊥x轴于点H． ∴ CD∥O1H∥BA． ∵ C(－3，4)，B(5，10)，

1

∴ O1是BC的中点． ∴ 由平行线分线段成比例定理得AH＝DH＝AD＝4，

2 ∴ OH＝OA－AH＝1．同理可得O1H＝7． ∴ 点O1的坐标为(1，7)． ∵ BC⊥OC， ∴ OC为⊙O1的切线．

又∵OP为⊙O1的切线， ∴ OC＝OP＝O1C＝O1P＝5．

∴ 四边形OPO1C为正方形． ∴ ∠COP＝900． ∴ ∠POF＝∠OCD． 又∵∠PFD＝∠ODC＝90°， ∴ △POF≌△OCD．

∴ OF＝CD，PF＝OD． ∴ P(4，3)． 设直线O1P的解析式为y＝kx+B(k≠0)． 把O1(1，7)、P(4，3)分别代人y＝kx+B，

4?k??，??k?b?7，?3得? 解得?

4k?b?3．??b?25．?3?425

∴ 直线O1P的解析式为y＝－x＋．

33

若以PQ为直径的圆与⊙O1相切，则点Q为直线O1P与抛物42515

线的交点，可设点Q的坐标为(m，n)，则有n＝－m＋，n＝m2－M

3366

42515

∴ －m＋＝m2－M．整理得m2＋3m－50＝0，

3366－3±209解得m＝ 2

－3＋209－3－209

∴ 点Q的横坐标为或．

22

4．【答案】解：（1）点C的坐标(2,2?16a?m?0则??4a?m?236第3题图

3)．设抛物线的函数关系式为y?a(x?4)?m2，

，解得a3??,m?833.

∴所求抛物线的函数关系式为y??36(x?4)?2833????①

??4k?b?0设直线AC的函数关系式为y?kx?b,则??2k?b?2，解得k3?33,b?433．

∴直线AC的函数关系式为y?33x?433，∴点E的坐标为(4,833)

把x=4代入①式，得y??36(4?4)?2833?833，∴此抛物线过E点．

（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于

G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=

36412(8?x)?y?12(y?23)(x?2)?12?(8?2)?23 =3y?3x?83?3(?x?233x)?3x?83??32x?523x?83 =?32(x?5)?2923,

∴当x=5时，S△CMN有最大值

923

5．【答案】解（1）令y=0，求得A点坐标为（－2，0），B点坐标为（6，0）； 令x＝0，求得C点的坐标为（0，3）

设BC直线为y＝kx＋b，把B、C点的坐标代入得：?故BC的解析式为：y=?12?6k?b?0?b?3 解得k＝?12，b=3

x＋3

（2）①过点D（2，4）作DG⊥BC于点G，因为抛物线的对称轴是直线x=2，所以点E的坐标为（2，2），所以有EF＝2，FB＝4，EB＝2

5，DE＝2，从图中可知，

Rt?DEG?Rt?BEF，所以有：

DEEB?DGFB 解得DG＝

455 故当r＞

455，点P运

动到点D时，⊙P与直线BC相交

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