高中数列知识点解题方法和题型大全(8)

∴ a??1即为所求a的值．

（ⅲ）当a?1时，f(x)?xx，所以，xn?1?n． 1?x1?xn1?xn1111两边取倒数，得???1，即???1．

xn?1xnxnxn?1xn所以数列{故

11}是首项为??1，公差d??1的等差数列． xnx111??1?(n?1)?(?1)??n，所以，xn??，

nxn1n即数列{xn}的通项公式为xn??．

3．在各项均为正数的数列{an}中，前n项和Sn满足

2Sn?1?an(2an?1)，n?N*。

（I）证明{an}是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；

（II）在XOY平面上，设点列Mn（xn，yn）满足an?nxn，Sn?n2yn，且点列Mn在直线C上，Mn中最高点为Mk，若称直线C与x轴、直线x?a、x?b所围成的图形的面积为直线C在区间[a，b]上的面积，试求直线C在区间[x3，xk]上的面积；

（III）是否存在圆心在直线C上的圆，使得点列Mn中任何一个点都在该圆内部？若存在，求出符合题目条件的半径最小的圆；若不存在，请说明理由。

2解：（1）由已知得2Sn?2an?an?1 ①

2故2Sn?1?2an ② ?1?an?1?1

22②－①得2an?1?2an?1?2an?an?1?an

结合an?0，得an?1?an? ?{an}是等差数列

又n?1时，2a1?2a12?a1?1，解得a1?1或a1??

121111?an?0，?a1?1 又d?，故an?1?(n?1)?n?

22221n(n?1)123?Sn?n???n?n

2244（II）?an?nxn，Sn?n2yn

36

12

22n44nn1113即得点Mn(?，?)

22n44n1113设x??，y??，消去n，得3x?2y?1?0

22n44n即直线C的方程为3x?2y?1?0

13又y??是n的减函数

44n?xn?ann?1?1，yn?Sn2?1?3

∴M1为Mn中的最高点，且M1（1，1）

122∴C与x轴、直线x?、x?1围成的图形为直角梯形

321121从而直线C在[，1]上的面积为S??(?1)?(1?)?

32234（III）由于直线C：3x?2y?1?0上的点列Mn依次为

35211113M1（1，1），M2（，），M3（，），……，Mn（?，?），

483222n44n111131(?)?，lim(?)? 而limn??22n2n??44n411因此，点列Mn沿直线C无限接近于极限点M（，）

24111113又|M1M|?(1?)2?(1?)2? 2224835M1M的中点为（，）

48又M3的坐标为（，）

23∴满足条件的圆存在

事实上，圆心为（，），半径r?345813的圆，就能使得Mn中任何8345813 64一个点都在该圆的内部，其中半径最小的圆为(x?)2?(y?)2?4．已知定义在R上的单调函数f(x)，存在实数x0，使得对于任意实数x1,x2总有f(x0x1?x0x2)?f(x0)?f(x1)?f(x2)恒成立. （1）求x0的值.

（2）若f(x0)?1，且对任意正整数n，有an?11,bn?f(n)?1，记f(n)2 37

4Sn?a1a2?a2a3???anan?1,Tn?b1b2?b2b3???bnbn?1，比较Sn与Tn的

3大小关系，并给出证明； （3）若不等式an?1?an?2???a2n?4[log1(x?1)?log1(9x2?1)?1]对任意3522不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围.

解：（1）令x1?x2?0，得f(0)?f(x0)?2f(0),?f(x0)??f(0). ① 令x1?1,x2?0，得f(x0)?f(x0)?f(1)?f(0),?f(1)??f(0). ② 由①，②得 f(x0)?f(1). ?f(x)为单调函数，?x0?1. （2）由（1）得f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?f(1)?f(x1)?f(x2)?1，

?f(n?1)?f(n)?f(1)?1?f(n)?2,f(1)?1,

?f(n)?2n?1.12(n?Z?) ?an?1. 2n?111122211?f()?0,b1?f()?1.

22111111又?f(n)?f(n?1?n?1)?f(n?1)?f(n?1)?f(1)?2f(n?1)?1，

222222111?2bn?1?2f(n?1)?2?f(n)?1?bn. ?bn?()n?1.

222又?f(1)?f(?)?f()?f()?f(1)

?Sn?1111111111?????(???????)

2n?12n?11?33?5(2n?1)(2n?1)2133511)

22n?1111111111 Tn?()0()1?()1()2???()n?1()n??()3???()2n?1

22222222211[1?()n]214 ?2?[1?()n] 1341?442121211?Sn?Tn?(1?)?[1?()n]?[()n?]. 332n?134342n?1 ?(1?nnn?1n?110?4n?(3?1)n?Cn3?Cn3???Cn3?Cn?3n?1?2n?1，

38

4311?Sn?Tn?(n?)?0.3242n?14?Sn?Tn. 3（3）令F(n)?an?1?an?2???a2n，

111???0. 4n?14n?32n?112∴当n?2,n?N时，F(n)?F(n?1)???F(2)?a3?a4?.

35则F(n?1)?F(n)?a2n?1?a2n?2?an?1??124?[log1(x?1)?log1(9x2?1)?1].3535222 即

log1(x?1)?log1(9x2?1)?2.

2??x?1?0,?511??9x2?1?0, 解得??x??或?x?1.

393?x?11?2?.?9x?145．在等差数列?an?中，a4S4??14，S5?a5??14，其中Sn是数列?an?的

x2y2前n项之和，曲线Cn的方程是??1，直线l的方程是y?x?3。

an4（1）求数列?an?的通项公式；

（2）当直线l与曲线Cn相交于不同的两点An，Bn时，令

Mn??an?4??AnBn，求Mn的最小值；

（3）对于直线l和直线外的一点P，用“l上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线l的距离与原有的点到直线距离的概念是等价的，若曲线Cn与直线l不相交，试以类似的方式给出一条曲线Cn与直线l间“距离”的定义，并依照给出的定义，在Cn中自行选定一个椭圆，求出该椭圆与直线l的“距离”。

解：（1）∵S5?a5??14，∴S4??14，又∵a4S4??14，∴a4?1， ∵S4??14?

4?a1?a4?a?a1?2?a1?1?，∴a1??8，d?4?3， 2339

∴an?3n?11。

?x2y2??1???an?4?x2?6anx?5an?0，由题意，知 （2）?an4?y?x?3???16an?2?5an?0，即an?5，∴3n?11?5或3n?11??5，即n??16或3n?2，即n?6或n?1时，直线l与曲线Cn相交于不同的两点。

Mn??an?4??AnBn??an?4??2?16an?5anan?4?2??45?25? 2??an???2?4?22?9?25??42?9?n???,n?6，∴n?6时，Mn的最小值为87。 ??2?4???163,n?1 （3）若曲线Cn与直线l不相交，曲线Cn与直线l间“距离”是：曲线Cn上的点到直线l距离的最小值。

2 曲线Cn与直线l不相交时，??16an?5an?0，即0?an?5，

??即3n?11?5，∴n?3,4,5，

∵n?5时，曲线C5为圆，∴n?3,4时，曲线Cn为椭圆。

x2y2??1，设椭圆上任一点 选n?3，椭圆方程为24M?2co?s,2si?n，它到直线l的距离

2cos??2sin??32?dmin?3?6?32?3，∴椭圆C3到直线l的距离为22?d?3232?10） ?3。 （椭圆C4到直线l的距离为

226．直线x?y?n(n?N*)与x轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为an，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为bn．（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点）

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