高中数列知识点解题方法和题型大全

一 高中数列知识点总结

1. 等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?d 2性质：?an?是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

（2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；

（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m?1 ?bmT2m?1（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负

分界项，

?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.

?an?1?0?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值.

?an?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an?，有

S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)

1

S偶?S奇?nd，

S奇S偶?an. an?1（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an?，

有

S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)， S奇?S偶?an，

S奇S偶?n. n?12. 等比数列的定义与性质

定义：

an?1，an??q（q为常数，q?0）aq1ann?1.

等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy.

?na1(q?1)?前n项和：Sn??a1?1?qn?（要注意！）

(q?1)?1?q?性质：?an?是等比数列

（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq

（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？

n?1时，a1?S1； n?2时，an?Sn?Sn?1.

2

二 解题方法

1 求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法

111如：数列?an?，a1?2a2?……?nan?2n?5，求an

2221解 n?1时，a1?2?1?5，∴a1?14 ①

2111n?2时，a1?2a2?……?n?1an?1?2n?1?5 ②

222?14(n?1)1n?1①—②得：nan?2，∴an?2，∴an??n?1

2?2(n?2)5［练习］数列?an?满足Sn?Sn?1?an?1，a1?4，求an

3注意到an?1?Sn?1?Sn，代入得

Sn?1∴?Sn?是等比数列，?4又S1?4，Sn?4n

Sn；

n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3·4n?1

（2）叠乘法

an 如：数列?an?中，a1?3，n?1?，求an

ann?1解

aa1a2a312n?13，∴n?又a1?3，∴an?·……n?·……a1na1a2an?123nn.

（3）等差型递推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

3

?a3?a2?f(3)??n?2时，?两边相加得an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n)

…………?an?an?1?f(n)??∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n)

a2?a1?f(2)（4）等比型递推公式

an?can?1?d（c、d为常数，c?0，c?1，d?0）

可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?列

∴an?dd?n?1d?n?1d??，∴ ??a1?·ca?a?c?n??1?c?1?c?1?c?1?c?1?ddd??a?，c为公比的等比数，∴?an?是首项为?1c?1c?1c?1??（5）倒数法

如：a1?1，an?1?2an，求an an?2由已知得：

a?2111111?n??，∴?? an?12an2anan?1an2?1?11111∴??为等差数列，?1，公差为，∴?1??n?1?·??n?1?，

a1an222?an?∴an?2n?1

(附：公式法、利用

an??S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比

an?1?pan?q或an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)

4

2 求数列前n项和的常用方法 (1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?an?是公差为d的等差数列，求?1

k?1akak?1n解：由

n111?11???????d?0?

ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?n?111?11?1??11??11?1???????????……??∴???????? ??ak?1?d??a1a2??a2a3?k?1akak?1k?1d?ak?anan?1???1?11???? d?a1an?1?［练习］求和：1?111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n1an?……?……，Sn?2?

n?1（2）错位相减法

若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.

如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1

①

x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn ①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn

x?1时，Sn ②

1?x?nx???nn?1?x?21?x，x?1时，Sn?1?2?3?……?n?n?n?1? 2 5

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