高中数列知识点解题方法和题型大全(7)

（III）证明：

4b1?14b2?1...4bn?1?(an?1)bn,?4(b1?b2?...?bn)?2nbn,

?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, ① 2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ②

②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0. ③ nbn?2?(n?1)bn?1?2?0. ④

④－③，得nbn?2?2nbn?1?nbn?0, 即bn?2?2bn?1?bn?0,

?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*), ??bn?是等差数列。

例14.已知数列｛an｝中，a1?1、点（n、2an?1?an）在直线y=x上，其中n=1,2,3…. 2(Ⅰ)令bn?an?1?an?3,求证数列 (Ⅱ)求数列?an? ?bn?是等比数列；的通项；(Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列?an??bn?的前n项和,是否存在实数?，使得数列?、为等差数列？若存在，试求出?.若不存在,则说明理由。 解：（I）由已知得 a1??Sn??Tn??n??1,2an?1?an?n, 23313a2?,a2?a1?1???1??,

4424又bn?an?1?an?1,bn?1?an?2?an?1?1,

an?1?(n?1)an?nan?1?an?1?bn?1an?1?an?1122?2????.

bnan?2?an?1?1an?1?an?1an?1?an?1231为首项，以为公比的等比数列.

2431n?131（II）由（I）知，bn???()???n,

42223131?an?1?an?1???n,?a2?a1?1???,

22223131a3?a2?1???2,???????an?an?1?1???n?1,

2222?{bn}是以?将以上各式相加得：

3111?an?a1?(n?1)??(?2?????n?1),

2222

31

11(1?n?1)313132?an?a1?n?1??2??(n?1)?(1?n?1)?n?n?2.1222221?23?an?n?n?2.

2（III）解法一：

Sn??Tn}是等差数列. n111Sn?a1?a2?????an?3(1?2?????n)?(1?2?????n)?2n

22211(1?n)1n2?3n3n2?3nn(n?1)22??n??3. ?3???2n?3(1?n)?1222221?231?(1?n)2??3(1?1)??3?3. Tn?b1?b2?????bn?4nn?1122221?2S??TnS??Tn}是等差数列的充要条件是n?An?B,(A、B是常数) 数列{nnn存在??2，使数列{即Sn??Tn?An2?Bn,

3n2?3n33n2?3n?1?3??(??n?1)??3(1?)(1?n) 又Sn??Tn??n?2222222?当且仅当1?解法二：

存在??2，使数列{?2?0，即??2时，数列{Sn??Tn}为等差数列. nSn??Tn}是等差数列. n由（I）、（II）知，an?2bn?n?2?Sn?2T?n(n?1)?2n 2n(n?1)?2n?2Tn??Tnn?3??2Sn??Tn2??Tn ?2nnn31?(1?n)2??3(1?1)??3?3 又Tn?b1?b2?????bn?4nn?1122221?2Sn??Tnn?3??233??(??n?1) n2n22 32

?当且仅当??2时，数列{例15 f(x)??Sn??Tn}是等差数列. n0(x?0)?

?n[x?(n?1)]?f(n?1)(n?1?x?n,n?N*)n （1）在[0，3]上作函数y=f(x)的图象 （2）求证：1??i?11?2 f(i)1)的关系 2 （3）设S(a) (a≥0)是由x轴、y=f(x)的图象以及直线x=a所围成的图形面积，当n∈N*时，试寻求S(n)?S(n?1)与f(n?解：（1）当n=1即0

当n=2即1

当n=3即2

(x?[0,1])?x? ∴f(x)??2x?1(x?[1,2])

?3x?3(x?[2,3])? ∴函数f(x)在[0，3]上的图象如图所示 （2）f(n)=n[n－(n－1)]+f(n－1)=n+f(n－1)

∴f(1)=1，f(2)=2+f(1)，f(3)=3+f(2)，…，f(n)=n+f(n－1)

以上各式相加得f(n)?1?2???n?∴

n(n?1),(*) 21211??2(?) f(n)n(n?1)nn?1n∴?1?1?1?1???1?2(1?1?1?1?1?1???1?1)

f(1)f(2)f(3)f(n)22334nn?1i?1f(i)?2(1?∵2n≥n+1>0 又

12n)? n?1n?1

2n2n?2??2 n?1n?12n?1 n?1n1∴1???2

i?1f(i)∴

（3）由（1）图象中可知：S(n)―S(n―1)表示一个以f(n－1)、f(n)为底，n―(n―1)=1为高的梯形面积（当n=1时表示三角形面积），根据（*）可得

11n(n?1)n(n?1)n2?]? S(n)―S(n―1)=[f(n?1)?f(n)]?1?[

2222211nn(n?1)n2?又可得f(n?)?n[n??(n?1)]?f(n?1)??

222221 ∴S(n)―S(n―1)=f(n?)

2数列专题作业

33

1．已知数列{an}满足：a1?2,an?1?2(1?)2an. （1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn?(An2?Bn?C)?2n，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n?N?都有an?bn?1?bn成立？说明你的理由； （3）求证：a1?a2???an?2n?2?6 解：（1）由已知an?1?2?(an1naan?12 )an,即n?12?2?nn(n?1)n2a1?2 12}是公比为2的等比数列，又 ?数列{n2 ?ann?2.2n?an?2n?n2

（2）?bn?1?bn?[An2?(4A?B)n?2A?2B?C]?2n

若an?bn?1?bn恒成立,则n2?An2?(4A?B)n?2A?2B?C恒成立.

?A?1?A?1????4A?B?0??B??4，故存在常数A、B、C满足条件 ?2A?2B?C?0?C?6??（3）a1?a2???an?(b2?b1)?(b3?b2)???(bn?1?bn)?bn?1?b1 ?[(n?1)2?4(n?1)?6]?2n?1?6?(n2?2n?3)?2n?1?6 ?[(n?1)2?2]?2n?1?6?2n?1?6 2．已知函数y?f(x)对于任意??k?（k?Z），都有式子2． f(a?tan?)?cot??1成立（其中a为常数）（Ⅰ）求函数y?f(x)的解析式；

（Ⅱ）利用函数y?f(x)构造一个数列，方法如下：

对于给定的定义域中的x1，令x2?f(x1)，x3?f(x2)，…，

xn?f(xn?1)，…

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在上述构造过程中，如果xi（i=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果xi不在定义域中，那么构造数列的过程就停止.

（ⅰ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围； （ⅱ）是否存在一个实数a，使得取定义域中的任一值作为x1，

都可用上述方法构造出一个无穷数列{xn}？若存在，求出

a的值；若不存在，请说明理由；

（ⅲ）当a?1时，若x1??1，求数列{xn}的通项公式． 解：（Ⅰ）令x?a?tan?（??k?11ot???），则tan??a?x，而c，

2tan?a?x1x?1?a?1， ∴ y?f(x)=故f(x)=（x?a）． a?xa?x（Ⅱ）（ⅰ）根据题意，只需当x?a时，方程f(x)?x有解，

亦即方程 x2?(1?a)x?1?a?0有不等于a的解．

将x?a代入方程左边，左边为1，与右边不相等．故方程不可能有解x?a．由 △=(1?a)2?4(1?a)?0，得 a??3或a?1，

即实数a的取值范围是(??,?3][1,??)．

（ⅱ）假设存在一个实数a，使得取定义域中的任一值作为x1，都

可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，那么根据题意可知，

x?1?a=a在R中无解， a?x亦即当x?a时，方程(1?a)x?a2?a?1无实数解． 由于x?a不是方程(1?a)x?a2?a?1的解，

所以对于任意x∈R，方程(1?a)x?a2?a?1无实数解， 因此?

?1?a?0,?a?a?1?0.2解得a??1．

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