高中数列知识点解题方法和题型大全(2)

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

Sn?a1?a2?……?an?1?an??相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…

Sn?an?an?1?……?a2?a1?x2［练习］已知f(x)?，则

1?x2?1?f(1)?f(2)?f???f(3)??2??1?f???f(4)??3?2?1?f??? ?4??1???2xx21x??1??由f(x)?f???????12222?x?1?x?1?1?x1?x1????x?

?∴原式?f(1)??f(2)???1???f?????f(3)??2????1???f?????f(4)??3???1?1??1f?????1?1?1?3

2?4??2(附：a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。

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f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

g.用构造法求数列的前n项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。 )

三 方法总结及题型大全

方法技巧

数列求和的常用方法

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1.等差数列求和公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d22

(q?1)?na1?Sn??a1(1?qn)a1?anq?(q?1)?1?q?1?q2、等比数列求和公式：

n11Sn??k?n(n?1)Sn??k2?n(n?1)(2n?1)26k?1k?1

n1Sn??k3?[n(n?1)]22k?1

例1设

n{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3?7，且

a1?3，3a2，a3?4构成等差数列．

（1）求数列（2）令

{an}的等差数列．

bn?lna3n?1，n?1，2，，{b}求数列n的前n项和T．

?a1?a2?a3?7，?:?(a1?3)?(a3?4)?3a2.?a?2． 2解：（1）由已知得?解得2 7

a21?，a3?2q

设数列{an}的公比为q，由a2?2，可得q．

2?2?2q?又S3?77，可知q，即2q2?5q?2?0，

q解得

1?2，q12?2．由题意得q?1，?q?2． ?a?11?1．故数列{an}的通项为an?2n．

（2）由于bn?lna3n?1，n?1，2，，由（1）得a3n?1?23n

3n ?bn?ln2?3nln2， 又bn?1?bn?3ln2n

?{bn}是等差数列．

?Tn?b1?b2??bn

?n(b1?bn)2?n(3ln2?3ln2)2?3n(n?1)

2ln2.

T?3n(n?1)故

n2ln2．

f(n)?Sn练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求

(n?32)Sn?1的最大值.

S1 解：由等差数列求和公式得 n?2n(n?1)S1， n?2(n?1)(n?2)用公式）

f(n)?Snn ∴

(n?32)Sn?1＝n2?34n?64

11n?34?64(n?8 n)2?50?1 ＝

＝n50

8

（利用常

n? ∴ 当 二、错位相减法 设数列

81f(n)max?8，即n＝8时，50

?an?的等比数列，数列?bn?是等差数列，则数列?anbn?的前n项和Sn求解，均可用

错位相减法。

n?1n?an??a?2，a??a???(2??)2(n?N)，n?1n例2（07高考天津理21）在数列中，1其中??0． （Ⅰ）求数列（Ⅱ）求数列

?an?的通项公式； ?an?的前n项和Sn；

n?1n?a??a???(2??)2(n?N)，??0， n?1n（Ⅰ）解：由

?2????n?1????可得

an?1n?1?2??n????1????，

annnn??an?2???a2??n?n????????n?1?????a?????为等差数列，所以?其公差为1，首项为0，故n???，所以数列nnna?(n?1)??2n的通项公式为． 234T???2??3??（Ⅱ）解：设n?(n?2)?n?1?(n?1)?n， ①

?Tn??3?2?4?3?5??(n?2)?n?(n?1)?n?1 ②

当??1时，①式减去②式，

得

(1??)Tn?????23???(n?1)?nn?1?2??n?1??(n?1)?n?11??，

?2??n?1(n?1)?n?1(n?1)?n?2?n?n?1??2Tn???2(1??)1??(1??)2．

(n?1)?n?2?n?n?1??2n?1Sn??2?22an??(1??)这时数列的前n项和．

当??1时，

Tn?n(n?1)n(n?1)n?1S??2?2n2．这时数列?an?的前n项和2．

例3（07高考全国Ⅱ文21）设

{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且

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a1?b1?1，a3?b5?21，a5?b3?13

（Ⅰ）求

{an}，{bn}的通项公式；

?an???bS（Ⅱ）求数列?n?的前n项和n．

4??1?2d?q?21，?an?bn?1?4d?q2?13，???qq?0?d解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且

解得d?2，q?2． 所以

an?1?(n?1)d?2n?1，

bn?qn?1?2n?1． an2n?1?n?1b2（Ⅱ）n． Sn?1?35?2?1225?2?2n?32n?1?n?1n?222，①

2Sn?2?3??2n?32n?1?n?22n?32，② 22?2?22?22n?2?2n?12n?1，

②－①得

Sn?2?2??11?2?2??1??2??22?1?2n?1?n?1n?2?2?2

1n?12n?12?2?2??n?1121?2

1??6?2n?32n?1．

三、逆序相加法

把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

2xf(x)?x2?2的图象上有两点P1(x1, y1)、例4（07豫南五市二联理22.）设函数P2(x2, y2)，

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