高中数列知识点解题方法和题型大全(4)

之，即

aaa2a3a4122??????????n?1?2?3????????n?1?n??a1??an?a1a2a3an?1234a1n又3，3n n例:已知a1?3，

an?1?3n?1an3n?2 (n?1)，求an。

an?3(n?1)?13(n?2)?13?2?13?1???????a13(n?1)?23(n?2)?23?2?23?2526??3?853n?1。

?3n?43n?7??3n?13n?4类型3

an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）

。

an?1?t?p(an?t)，其中

t?q1?p，再利用

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列

?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.

an?1?2an?3可以转化为an?1?t?2(an?t)即an?1?2an?t?t??3.

解：设递推公式故递推公式为

an?1?3?2(an?3),令bn?an?3，则b1?a1?3?4,且

bn?1an?1?3??2?b?bnan?3.所以n是以b1?4为首项，2为公比的等比数列，则

bn?4?2n?1?2n?1,所以an?2n?1?3.

变式:递推式：

an?1?pan?f?n?。解法：只需构造数列?bn?，消去f?n?带来的差异．

na?pa?qn?1n类型4 （其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）。 na?pa?rqn?1n（,其中p，q, r均为常数） 。

an?1pan1??n?n?1n?1qqq引入辅助数列q解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q，得：

?bn?（其中

bn?anp1b?b?n?1nqn）qq再待定系数法解决。 ，得：

a1?511an?1?an?()n?1a6,32，求n。

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例:已知数列

?an?中，

112nn?1an?1?an?()n?12?a?(2?an)?1n?1n?1323解：在两边乘以2得：

令

bn?2?an，则

nbn?1?22bn?1bn?3?2()n33所以 ,解之得：

an?bn1n1n?3()?2()23 2n类型5 递推公式为

an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）

。

an?2?san?1?t(an?1?san)其中s，t满足

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为

?s?t?p??st??q

解法二(特征根法)：对于由递推公式

an?2?pan?1?qan，a1??,a2??给出的数列?an?，

2?a?x?px?q?0，方程叫做数列n的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当x1?x2n?1n?1??aa?Ax?Bxnn12时，数列的通项为，其中

A，B由a1??,a2??决定（即把

n?1n?1a?Ax?Bxa1,a2,x1,x2和n?1,2，n12代入，得到关于A、B的方程组）；当x1?x2时，n?1??aa?(A?Bn)xnn1数列的通项为，其中A，B由a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2n?1a?(A?Bn)xn?1,21，得到关于A、B的方程组）和，代入n。

解法一（待定系数——迭加法）:数列

?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)，

a1?a,a2?b，求数列?an?的通项公式。由3an?2?5an?1?2an?0，得

an?2?an?1?2(an?1?an)3，且a2?a1?b?a。

2?a?an?是以b?a为首项，3为公比的等比数列，于是

则数列n?12an?1?an?(b?a)()n?13。

2a3?a2?(b?a)?()3， 把n?1,2,3,???,n代入，得a2?a1?b?a，

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2a4?a3?(b?a)?()23，???

2an?an?1?(b?a)()n?23。把以上各式相加，得

21?()n?13?(b?a)2222n?21?an?a1?(b?a)[1??()?????()]3333。

22?an?[3?3()n?1](b?a)?a?3(a?b)()n?1?3b?2a33。

解法二（特征根法）：数列

?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b2的特征方程是：3x?5x?2?0。

?x1?1,x2?22n?1?A?B?()n?1n?1a?Ax?Bx3,?n312。又由a1?a,a2?b，于是

?a?A?B?A?3b?2a?2???2n?1B?3(a?b)b?A?Ba?3b?2a?3(a?b)()??n3?3故

例:已知数列

?an?中，a1?1,a2?2,

an?2?21an?1?an33，求an。

解：由

an?2?21an?1?an33可转化为an?2?san?1?t(an?1?san)

即

an?22?s?t??1?s?1??3????s????31??st??1t????(s?t)an?1?stan?3?3或???t?1

1?s?1?s????3?1?t????t?13?这里不妨选用（当然也可选用?，大家可以试一试），则

11?an?2?an?1??(an?1?an)??an?1?an?是以首项为a2?a1?1，3公比为3的等比数列,

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1an?1?an?(?)n?13所以,应用类型1的方法，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累加之，即

111an?a1?(?)0?(?)1????????(?)n?2333an?731n?1?(?)443。

11?(?)n?13?11?3又?a1?1，所以

类型6 递推公式为

Sn与an的关系式。(或Sn?f(an))

?S1????????????????(n?1)an???Sn?Sn?1???????(n?2)与 解法：这种类型一般利用

an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)消去Sn (n?2)或与Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去 an进行求解。

例：已知数列式

?an?前n项和

Sn?4?an?12n?2.（1）求an?1与an的关系；（2）求通项公

an.

Sn?4?an?12n?2得：

Sn?1?4?an?1?12n?1于是

解：（1）由

Sn?1?Sn?(an?an?1)?(an?1?an?an?1?112n?2?12n?1)

所以

2n?1?an?1?11an?n22.

na?pa?qn?1n（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）） n?12的方法，上式两边同乘以2得：

n?1an?1?2nan?2由

a1?S1?4?a1?1?a1?1n1?22an是以2为首项，2为公差的等差数列，所2.于是数列

??以

2an?2?2(n?1)?2nn?an?n2n?1

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类型7

an?1?pan?an?b(p?1、0，a?0)

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

an?1?x(n?1)?y?p(an?xn?y)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为

?an?xn?y?是公比为p的等比数列。

例:设数列解：设

?an?：a1?4,an?3an?1?2n?1,(n?2)，求an.

bn?an?An?B，则an?bn?An?B，将an,an?1代入递推式，得

bn?An?B?3?bn?1?A(n?1)?B??2n?1?3bn?1?(3A?2)n?(3B?3A?1)

??A?3A?2A?1??????B?3B?3A?1??B?1

?取bn?an?n?1…（１）则bn?3bn?1,又b1?6，故

bn?6?3n?1?2?3n代入（１）得an?2?3n?n?1

说明：（1）若f(n)为n的二次式，则可设

bn?an?An2?Bn?C;(2)本题也可由

an?3an?1?2n?1 ,an?1?3an?2?2(n?1)?1（n?3）两式相减得an?an?1?3(an?1?an?2)?2转化为 bn?2?pbn?1?qbn求之.

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