高中数列知识点解题方法和题型大全(6)

又因为点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－（3n?1)2?2(n?1)＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N?）

??（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn?31113?)， ＝＝(anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?26n?56n?1故Tn＝

?bi＝

i?1n12111111?1?＝（1－）. (1?)?(?)?...?(?)??26n?177136n?56n?1??因此，要使

11m1m（1－）<（n?N?）成立的m,必须且仅须满足≤，即26n?120220m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

例6．设f1(x)?fn(0)?12，定义fn?1(x)?f1[fn(x)],an?，其中n∈N*. 1?xfn(0)?2（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若T2n?a1?2a2?3a3???2na2n,， 解：（1）f1(0)＝2，a1?2?112?，fn?1(0)?f1[fn(0)]?， 2?241?fn(0)∴an?12?1fn?1(0)?11?fn(0)1?fn(0)1f(0)?11??????n??an

2fn?1(0)?24?2fn(0)2fn(0)?22?21?fn(0)∴

an?111111??，∴数列｛an｝上首项为，公比为?的等比数列，an?(?)n?1

4242an2（2）T2n?a1?2a2?3a3???2na2n,

11111?T2n?(?)a1?(?)2a2?(?)3a3???(?)2na2n, 2222211[1?()2n]13n?13112两式相减得：T2n?4?n?(?)2n?1, T2n?(1?2n)

1922421?2例7．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N?)均在函数y＝3x－2的图像上。

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（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn?3，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得

anan?1Tn?m对所有n?N?都成立的最小正整数m。 20本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。 解：（I）依题意得，

Snn?3n?2,即Sn?3n2?2n。

当n≥2时，a当n=1时，所以

2?3?n?1?2?2(n?1)??6n?5; ???(3n?2n)?ansnsn?1??2a?s?3×1-2×1-1-6×1-5

11na?6?5(n?N)。

n（II）由（I）得bn?n311?11??????， anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?2?6n?56n?1?故

骣1鼢骣骣11轾111?1?1?珑?犏=。 -b=1-+-+...+-1?鼢?珑???Tn?鼢?珑?犏桫7桫桫2臌7136n-56n+12?6n?1?1=11?1?m1???﹤?n?N2?6n?1?20因此，使得

?成立的m必须满足

1m≤，即m≥10,故满足要220求的最小整数m为10。 【问题4】数列与解析几何

数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解.

例8．在直角坐标平面上有一点列P对一切正整数n，1(x1,y1),P2(x2,y2)?,Pn(xn,yn)?，点Pn位于函数y?3x?数列?xn?.

⑴求点Pn的坐标；子⑵设抛物线列c1,c2,c3,?,cn,?中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为Pn，且过点Dn(0,n2?1)，记与抛物线cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：

135的图象上，且Pn的横坐标构成以?为首项，?1为公差的等差42111. ????k1k2k2k3kn?1kn27

解：（1）xn??53?(n?1)?(?1)??n? 22?yn?3?xn?13535??3n?,?Pn(?n?,?3n?) 4424（2）?cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn.?设cn的方程为：

y?a(x?2n?3212n?5)?, 24把Dn(0,n2?1)代入上式，得a?1，?cn的方程为：y?x2?(2n?3)x?n2?1。

kn?y'|x?0?2n?3，??=

1kn?1kn?1111?(?)

(2n?1)(2n?3)22n?12n?31111111111?[(?)?(?)???(?)] ????792n?12n?3k1k2k2k3kn?1kn25711111(?)?? 252n?3104n?6点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。（1）、（2）两问运用几何知识算出kn. 例9．已知抛物线x2?4y，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点P1，又过点

11P1作斜率为的直线交抛物线于点P2，再过P2作斜率为的直线交抛物线于点P，3，

241如此继续，一般地，过点P作斜率为的直线交抛物线于点Pn?1，设点Pnn(xn,yn)． n2（Ⅰ）令bn?x2n?1?x2n?1，求证：数列{bn}是等比数列．并求数列{bn}的前n项和为Sn 解：（1）因为Pn(xn,yn)、Pn?1(xn?1,yn?1)在抛物线上，故xn?4yn,①xn?1?4yn?1②，

又因为直线PnPn?1的斜率为

22yn?1?yn11?，①②代入可得，即n2xn?1?xn21x2n?1?x2n11?n?xn?1?xn?n?24xn?1?xn22?bn?x2n?1?x2n?1?(x2n?1?x2n)?(x2n?x2n?1)?122n?2?122n?3??122n?2， 故

bn?111??{bn}是以

4bn4为公比的等比数列；Sn??【问题5】数列创新题

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4131(1?n)?Sn?1?n， 3444例10.数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,鬃? 2（Ⅰ）写出Sn与Sn-1的递推关系式(n32)，并求Sn关于n的表达式； （Ⅱ）设fn(x)=2Snn+1x,bn=fn/(p)(p?R)，求数列{bn}的前n项和Tn。 n2解：由Sn=nan-n(n-1)(n32)得：Sn=n(Sn-Sn-1)-n(n-1)，即

(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1)，所以

由

n+1nSn-Sn-1=1，对n32成立。

nn-132n+1nnn-1S1=1相加得：Sn-Sn-1=1，Sn-1-Sn-2=1，…，S2-21nn-1n-1n-2n+11n2Sn-2S1=n-1，又S1=a1=，所以Sn=，当n=1时，也成立。 n2n+1（Ⅱ）由fn(x)=Snn+1nn+1x=x，得bn=fn/(p)=npn。 nn+1+(n-1)pn-1+npn，

而Tn=p+2p2+3p3+pTn=p2+2p3+3p4++(n-1)pn+npn+1，

(1-P)Tn=p+p+p+23+p1n-1+p-npnn+1p(1-pn)=-npn+1

1-p例11.已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+an我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如

3511当a=1时，得到无穷数列：1,2,,,?;当a??时,得到有穷数列:?,?1,0.

2322b（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1, bn+1=(n?N?)，求证bn?1a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}； （I）解法一：?a1?a,an?1?1?

1, an\\a2=1+

11a+112a+113a+22=1+=,a3=1+=a4=1+=.故当a=-时a4=0.a1aaa2a+1a32a+13 29

解法二:a4=0,\\1+111122=0,\\a3=-1.a3=1+,\\a2=.a2=1+,\\a=-.故当a=-时a4=0.a3a22a33b1,\\bn=+1.a取数列{bn}中的任一个数不妨设a=bn.bn-1bn+1(II)解法一:b1=-1,bn+1=a=bn,\\a2=1+\\an=1+1an-11111=1+=bn-1.\\a3=1+=1+=bn-2.a1bna2bn-11=b1=-1.b2\\an+1=0.=1+故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}

例12 已知正项数列?an?，其前n项和Sn满足10Sn?an2?5an?6,且a1,a2,a15成等比数

列，求数列?an?的通项an.

解 ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.

又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②

由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2).

当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3 例13.已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*). （I）证明：数列?an?1?an?是等比数列；

（II）求数列?an?的通项公式；

（II）若数列?bn?满足4b1?14b2?1...4bn?1?(an?1)bn(n?N*),证明?bn?是等差数 （1）证明：

an?2?3an?1?2an,?an?2?an?1?2(an?1?an),a1?1,a2?3,?an?2?an?1?2(n?N*).

an?1?an??an?1?an?是以a2?a1?2为首项，2为公比的等比数列。

（II）解：由（I）得

an?1?an?2n(n?N*),?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?...?(a2?a1)?a1

?2n?1?2n?2?...?2?1?2n?1(n?N*).

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