高中数列知识点解题方法和题型大全(3)

OP?若

11(OP1?OP2)2,且点P的横坐标为2.

（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

123nSn?f()?f()?f()???f(),n?N*,求Sn;nnnn（II）若

（III）略

OP?（I）∵∴P是

11(OP1?OP2)2,且点P的横坐标为2.

PP12的中点，且

x?x12?1

12y?y12?2x?12x12?2x222x2?21xx?22??2?2x2?2x?2??2x?2?2?1?4?24?22x2?2x1???2x?2x??1

?y?1p由（I）知，

x?x12?1f?x??f?x??1,且f?1??2?122 ?1??2?又Sn?f???f????n??n??n??n?1??f?f????Sn?nn????2Sn?f?2f????1?n?1??n??f??f????1?n???n??2??1??f???f???2??n??n?，（1）+（2）得：

f??1?1????2??n??2???n???1?n??f?f?f?f????????f????f??1?????????nnnn??n?????????n???????1??n?1?2

???1?1?322?Sn?n?3?22四、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

an?（1）

111??n(n?1)nn?1

(2n)2111an??1?(?)(2n?1)(2n?1)22n?12n?1（2）

11

an?（3）

1111?[?]n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)等。

1,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.

例5 求数列1?2an?解：设

1n?n?11?1?n?1?n （裂项）

Sn?则

1?22?3?????1n?n?1 （裂项求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n) ＝n?1?1

例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为

?f'(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N)均在函数y?f(x)的图像

上。 （Ⅰ）求数列

{an}的通项公式；

1mTn?anan?1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得20对所有n?N?都成立的

bn?（Ⅱ）设

最小正整数m；

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.

?(n,S)(n?N)均在函数y?f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n. n又因为点

（3n?1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－?2?2(n?1)＝6n－5.

??当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N）

bn?（Ⅱ）由（Ⅰ）得知

n33111(?)anan?1＝(6n?5)?6(n?1)?5?＝26n?56n?1，

故Tn＝

?bii?11＝211111?1?1(1?)?(?)?...?(?)?77136n?56n?1???＝2（1－6n?1）.

11m1m?因此，要使2（1－6n?1）<20（n?N）成立的m,必须且仅须满足2≤20，即m≥

12

10，所以满足要求的最小正整数m为10.

1???aaan评析：一般地，若数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：i?1ii?11??aa首先考虑i?1ii?1nn1111111n(?)(?)???a1an?1。下列求和：ai?1则i?1aiai?1=da1an?1i?1dainn?i?1n1ai?ai?1 也可用裂项求和法。

五、分组求和法

所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

?S?2a?1b?3,b?a?b(n?N) . nn1n?1nn例7数列{an}的前n项和，数列{bn}满

（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。

?S?2a?1,n?N,?Sn?1?2an?1?1， nn解析：（Ⅰ）由

两式相减得：

an?1?2an?1?2an,?an?1?2an,n?N?.同a1?1知an?0，

?

an?1?2,{a}an同定义知n是首项为1，公比为2的等比数列.

n?1n?1a?2,b?2?bnnn?1（Ⅱ）bn?1?bn?2n?1,

012b?b?2,b?b?2,b?b?2,?213243

n?2b?b?2,等式左、右两边分别相加得： nn?1

bn?b1?2?2???201n?21?2n?1?3??2n?1?2,1?2?Tn?(20?2)?(21?2)?(22?2)???(2n?1?2)?(20?21?22???2n?1)?2n

1?2n?2n?2n?2n?1.=1?2

2222S?1?2?3?4? 例8求?(?1)n?1n2（n?N?）

解：⑴ 当n为偶数时，

S?(12?22)?(32?42)?⑵ 当n为奇数时，

?[(n?1)2?n2]??(1?2??n)??n(1?n)2；

13

S?(12?22)?(32?42)??[(n?2)2?(n?1)2]?n2??[1?2??(n?1)]?n2??n(n?1)1?n2?(n2?n)221S?(?1)n?1n(n?1)2综上所述，．

点评：分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.

六、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

1?11?111?????111??????1例9 求

n个1之和.

111??????1?1?999???9?1k解：由于个19?????k个19(10?1)k 征）

1?11?111?????111??????1∴

n个1

1(101?1)?1(102?1)?1(103?1)?????1(10n?＝99991) 19(101?102?103?????10n)?19(1???1??1?????????1)＝

n个1

110(10n??1)?n＝

910?19 181(10n?1?10?9n)＝

?a8n?,求例10 已知数列{an}：(n?1)(n?3)?(n?1)(an?an?1)n?1的值.

(n?1)(an?an?1)?8(n?1)[1解：∵ (n?1)(n?3)?1(n?2)(n?4)] 征）

8?[11＝

(n?2)(n?4)?(n?3)(n?4)] （设制分组） 4?(1?1)?8(1?1) ＝

n?2n?4n?3n?4 （裂项）

14

（分组求和）

（找通项及特

（找通项及特

?1111(n?1)(a?a)?4(?)?8(?)???nn?1n?2n?4n?3n?4n?1n?1∴ n?1 （分组、裂项求和）

??1114?(?)?8?344 ＝

13 ＝3

类型1

an?1?an?f(n)

an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

解法：把原递推公式转化为

例:已知数列

?an?满足

a1?11an?1?an?22，n?n，求an。

an?1?an?解：由条件知：

1111???n2?nn(n?1)nn?1

分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累加之，即

(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)

1111111?(1?)?(?)?(?)????????(?)22334n?1n

所以

an?a1?1?1n

?a1?11131?an??1???2，2n2n

类型2

an?1?f(n)an

an?1?f(n)a解法：把原递推公式转化为n，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列

?an?满足

a1?2nan?1?an3，n?1，求an。

an?1n?an?1，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累乘

解：由条件知n 15

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