高中数列知识点解题方法和题型大全(5)

【知识点】：

1.等差数列前N项和

公式S=(A1+An)N/2 即： [(首项+末项)*项数] / 2

等差数列公式求和公式 Sn=n(a1+an)/2 或Sn=na1+n(n-1)d/2 即： 项数*首项+项数*（项数-1）*公差/2

2.等比数列前n项和

设 a1,a2,a3...an构成等比数列 前n项和Sn=a1+a2+a3...an Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q); q:公比

n?1a?，an?3?an?1(n?2)，则通项公式n【例】、已知数列

{an}满足

a1?13n?12

an=3^(n-1)+a(n-1) --->an-a(n-1)=3^(n-1)

同样a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2) ……a(n-2(-a(n-3)=3^(n-3) …………………… ……a3-a2=3^2 ……a2-a1=3^1

以上的n个等式的两边相加得到

An-a1=3+3^2+……+3^(n-1)=3(1-3^n-1)/(1-3)=(3^n-1)/2

1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证an?an?1(an/an?1)为同一常数。 (2)通项公式法： ①若 ②若

=

+（n-1）d=

+（n-k）d ，则?an?为等差数列；

，则?an?为等比数列。

(3)中项公式法：验证中项公式成立。

2. 在等差数列?an?中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当a1>0,d<0时，满足??am?0的项数m使得Sm取最大值.

?am?1?0 21

(2)当a1<0,d>0时，满足??am?0的项数m使得

?am?1?0取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 注意事项

1．证明数列?an?是等差或等比数列常用定义，即通过证明an?1?an?an?an?1 或

an?1a?n而得。 anan?12．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

n?1?S1?03．注意sn与an之间关系的转化。如：an=? ，

S?S?0n?2n?1?nan=a1??(ak?ak?1)．

k?2n4．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略． 【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题

例1.数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1?n?1?（Ⅰ）求?an?的通项公式；（Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比数列，求Tn

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。 解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1??1n??2，

两式相减得

an?1?an?2an,an?1?3an?n?2?

又a2?2S1?1?3 ∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3得等比数列 ∴

an?3n?1

（Ⅱ）设?bn?的公比为d 由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?5

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故可设b1?5?d,b3?5?d 又a1?1,a2?3,a3?9

由题意可得?5?d?1??5?d?9???5?3? 解得d1?2,d2?10 ∵等差数列

2?bn?的各项为正，∴d?0 ∴d?2 ∴

Tn?3n?n?n?1??2?n2?2n2

例2.设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an?Sn?4096。（1）求数列{an}的通项公式？（2）设数列{log2an}的前n项和为Tn,对数列?Tn?，从第几项起Tn??509？ .解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048.

当n≥2时, an= Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)= an－1－an ∴

an1= an?12an=2048(

1n－1

). 21n－112

)]=12－n, ∴Tn=(－n+23n). 22 (2) ∵log2an=log2[2048(

由Tn<－509,解得n>Tn<－509.

23?4601,而n是正整数,于是,n≥46. ∴从第46项起

2【问题2】等差、等比数列的判定问题．

例3.已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1＝2．设该数列的前n项和为Sn，且an?1＝(a?1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a＞1． （1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若a＝2

22k?1，数列{bn}满足bn＝

1log2(a1a2???an)（n＝1，2，┅，2k），求数列{bn}的通项公式； n3333（3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1－|＋|b2－|＋┅＋|b2k?1－|＋|b2k－|

2222≤4，求k的值．

(1) [证明] 当n=1时,a2=2a,则

a2=a； a1 2≤n≤2k－1时, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2,

23

an+1－an=(a－1) an, ∴

an?1=a, ∴数列{an}是等比数列. an1?2???(n?1) (2) 解：由(1) 得an=2a

n?1, ∴a1a2…an=2na=2na

n(n?1)2=2

n?n(n?1)2k?1,

n(n?1)n?1]??1(n=1,2,…,2k).

2k?12k?1313（3）设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, bn<；

2223 当n≥k+1时, bn>.

233333 原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)

22222 bn=[n? =(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)

1n11(k?2k?1)k(0?k?1)kk222 =[. ?k]?[?k]=

2k?12k?12k?1k2

当≤4,得k2－8k+4≤0, 4－23≤k≤4+23,又k≥2,

2k?1

∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.

例 4。已知数列?an?中，Sn是其前n项和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,),a1?1，⑴设

数列bn?an?1?2an(n?1,2,??)，求证：数列?bn?是等比数列；⑵设数列

cn?和。

an,(n?1,2,??)，求证：数列?cn?是等差数列；⑶求数列?an?的通项公式及前n项2n分析：由于{bn}和{cn}中的项都和{an}中的项有关，{an}中又有Sn?1=4an+2，可由Sn?2-Sn?1作切入点探索解题的途径．

解：(1)由Sn?1=4an?2，Sn?2=4an?1+2，两式相减，得Sn?2-S

n?1=4(an?1-a

n)，即

an?2=4an?1-4an．(根据bn的构造，如何把该式表示成bn?1与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

an?2-2an?1=2(an?1-2an)，又bn=an?1-2an，所以bn?1=2bn ① 已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3 ②

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由①和②得，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3·2

n?1．

当n≥2时，Sn=4an?1+2=2

n?1(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式．

n?1综上可知，所求的求和公式为Sn=2

(3n-4)+2．

说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件Sn?1?4an?2得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用． 【问题3】函数与数列的综合题

数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.

例5已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)=6x-2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N*)均在函数y=f(x)的图像上。（Ⅰ）、求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）、设bn=m1*，求使得Tn<对所有n?NTn是数列{bn}的前n项和，

20anan+1都成立的最小正整数m；

点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.

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