华理高数答案（下）(8)

解：垂足分别为：A?(2,3,0)、B?(0,3,?5)和C?(2,0,?5)，所以

AB?{?2,0,?5},AC?{0,?3,?5}

平面法向量为

?n?AB?AC??20?i?j0?k?5?{?15,?10,6}

?3?5 故平面方程为：15x?10y?6z?60?0 ．

*** 5． 过两点M?(0,4,?3)和N?(6,?4,3)作平面，使之不过原点，且使其在坐标轴上

截距之和等于零，求此平面方程． 解：设平面方程为：

xyz???1，由于它过M,N两点，则 aba?b

3?4??ba?b?1 ?643????1?aba?bb??2,6，

解得：a?3,故平面方程为： 2x?3y?6z?6 或 6x?3y?2z?18． **6． 判断下列各组平面相对位置，是平行，垂直还是相交，重合．

（1）?1:x?y?2z?1?0,?2:2x?2y?4z?3?0 （2）?1:2x?2y?z?1?0,?2:x?2y?2z?0

解：（1）?1,?2法向量分别为n1?{1,?1,2},n2?{2,?2,4}n2?2n1

取?1上一点(1,0,0)，显然不在?2上，故?1,?2平行，不重合． （2）?1,?2法向量分别为n1?{2,?2,?1},n2?{1,2,?2},n2?n1?0

故n2,n1垂直，从而?1,?2垂直．

第 10 章（之4）（总第56次）

教学内容：§10.3平面与直线[10.3.2，10.3.3]

36

**1．解下列各题：

（1） 过点M1(3,?2,1),M2(?1,0,2)的直线方程为???????????????? ． 答：

x?1yz?2 ??4?2?1?x?2y?z?3?0（2） 直线?在xOz坐标面上的交点为P?____________，并利用该点

2x?y?2z?6?0?的坐标，写出此直线的对称式方程和参数方程．

?x?3txyz?3?答： P?(0,0,3)．对称式方程为??，参数方程为?y?4t

345?z?5t?3?

（3）直线x?a?y?1z ?在平面x?y?z?3上的充要条件是a?______，k?_____．

2k?1,2,k?与平面的答：a??2，k?3．因为点P?(?a,1,0)在平面上，直线的方向向量l??1,1,?1?必须垂直． 法向量n??

**2．求经过点A?(?3,0,2)且与两个平面x?z?1及x?y?z?1同时平行的直线方程．

?????1,0,1?，且 l?n2??1,1,1?， 解：所求直线L的方向向量 l?n1?????ijk??? ∴ 可取 l?n1?n2?101???1,0,1?，

111

**3．求经过点A?(2,?1,0)且与两条直线x?y?z及方程．

∴ 所求直线方程为：

x?3y??z?2． ?10x?1y?2z同时垂直的直线??01?11,1,1?，且 l?l2??0,1,?1?， 解：所求直线L的方向向量 l?l1?????????∴可取l?l1?l2?11??ij?k1???2,1,1?，

∴所求直线方程为：

01?1**4. 求出过点A?(?1,?4,3)且与下列两条直线

x?2y?1??z． ?21 37

?x?2?4t?2x?4y?z?1?L1:? L2:?y??1?t

?x?3y??5??z??3?2t均垂直的直线方程．

?2x?4y?z?1解：L1:?

x?3y??5?

????，l1?n1??2,?4,1?，l1?n2??1,3,0?

???∴ 可取 l1?n1?n2???3,1,10?，

?x?2?4?t?x?2?4t?x?2y?1z?3??y?1， L2:?y??1?t???t????14?12??z??3?2t?z?3??t??2?????∴ 可取 l2??4,?1,2?，l?l1，且l?l2． ???12,46,?1?， ∴ 可取 l?l1?l2??∴所求直线方程为

x?1y?4z?3． ??1246?1x?1y?1z**5.求通过点M0??2,1,?5?且与直线相交并垂直的直线方程． ??32?1x?1y?1z?3解法一：直线L1:上取一点M1???1,1,0?， ??32?1???? 过点M0与直线L1的平面?的法向量n，则n?l1 且 n?M0M1，

???10,?12,6?，故n可取为 n??5,?6,3?． ∴l1?M0M1??3,2,?1????3,0,5???因所求直线L过点M0点且与L1相交，故L亦在平面?上，

?????故 l?n,l1?n??0,?14,?28?， 故可取 l??0,1,2?．

故所求直线方程为

x?2y?1z?5． ??012解法二：过点M0作垂直于直线L1的平面?：

3?x?2??2?y?1???z?5??0，即3x?2y?z?13?0

?t?1?3x?2y?z?13?0?x?2?直线L1与平面?的交点M的坐标满足： ?x?1y?1 ??zy?3???t??2?1?3?z??1

38

∴M点坐标为?2,3,?1?，∴M0M??0,2,4?， ∴所求直线方程为：

x?2y?1z?5． ??012x?1y?4z?3x?3y?9z?14相交． ??,L2:??k5?33?47** 6． 试求k值，使两条直线L1:?x?3t?3?解：将第二条直线的参数方程?y??4t?9代入第一条直线方程，有

?z?7t?14?3t?4?4t?137t?17 ??k5?3 解得 k?2

**7．求直线l1:x?1?

y?2z?1xy?1z?3与l2:之间的夹角． ????10?102解：l1，l2方向向量分别为S1?{1,?1,0},S2?{?1,0,2}，

?cos(S1,S2)?S1?S2|S1||S2|??110，故l1，l2之间的夹角为 arccos110．

**8．已知直线

x?1y?1z和平面qx?6y?2z?1垂直,求常数p,q之值． ??2p?1?∴

解： l??2,p,?1?//n??q,?6,2?，

**9．求过直线??2p?1???q??4,p?3． q?62?2x?7y?5z?7?0且在x轴和y轴上的截距相等的平面方程．

2x?y?z?4?0?解：过直线??2x?7y?5z?7?0的平面束方程可设为

2x?y?z?4?0? u?2x?7y?5z?7??v?2x?y?z?4??0(*)

令y?z?0，求得在x轴截距x?7u?4v，

2u?2v7u?4v．

7u?v39

令x?z?0，求得在y轴截距y?

∵x?y ∴

7u?4v7u?4v， ?2u?2v7u?v∴7u?4v?0或2u?2v?7u?v， 即:

u4u3??或?,代入（*）式，可得满足条件的平面有两个 v7v54?2x?7y?5z?7???2x?y?z?4??0，即：6x?35y?27z?0； 7（1）?（2）

3?2x?7y?5z?7???2x?y?z?4??0，即：16x?16y?10z?41． 5***10. 求直线x?y?z在平面x?5y?3z?1上的投影直线．

1,1,1?．在直线L上取一点A??0,0,0?，显然不满足方程解：直线L的方向向量 l???x?5y?3z?1, ∴A不在该平面上．

设过A做与平面?0:x?5y?3z?1的垂直的平面?．

?i???则平面?的法向量可取为 n?l?n0?11??jk11??4?2,?1,?1?， 5?3这就得到了?的方程为2x?y?z?0．从而得到投影直线方程为

?x?5y?3z?1?2x?y?z?0． ?

第 10 章（之5）（总第57次）

教学内容：§10.4空间曲面

1. 选择题

40

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库华理高数答案（下）(8)在线全文阅读。