***13．证明：若有方程f?(x)?f(1?x)，则必有f??(x)?f(x)?0，并求解此方程． 证明：由于f?(x)?f(1?x)，两边关于x求导得
故得
f??(x)??f?(1?x)??f[1?(1?x)]??f(x)
f??(x)?f(x)?0
（1）
解方程（1）得通解为
f(x)?C1cosx?C2sinx
（2）
f?(x)??C1sinx?C2cosx （3） f?(0)?f(1),f?(1)?f(0)，将此代入(2),(3)得
?C1cos1?C2sin1?C2 ??Csin1?Ccos1?C21?1解得：C2?1?sin1C1 cos1??
所以原方程的解为：
f(x)?C1?cosx?1?sin1?sinx?．
?cos1第9章 （之8） （总第51次）
教学内容：§9.6 微分方程应用举例 (机动)
第9章 （之9） （总第52次）
教学内容：§9.7 差分方程
1. 已知yt?3e是二阶差分方程yt?1?ayt?1?e的一个特解，求a． 解： a?tte(1?3e)． 3
2. 求下列差分方程的一般解： (1) 2yt?7yt?1?0； 解：yt?C(?)
72t 26
(2) yt?3yt?1??4； 解：yt?C3?2
(3) 2yt?1?10yt?5t?0； 解：yt?C(?5)t?t51(t?) 1262t(4) yt?1?4yt?2； 解：yt?C4?t4tt?1
(5) yt?1?yt?t?2． 解：yt?C?(t?2)2
tt
3. 写出下列差分方程的一个特解形式： (1) yt?1?yt?sint； 解：Yt?B1sint?B2cost
(2) yt?1?yt??3cos?t． 解：Yt?t(B1cos?t?B2sin?t)
4. 设yt为第t期国民收入，Ct为第t期消费，I为每期投资（I为常数）．已知yt，Ct，I之间有关系 yt?Ct?I，Ct??yt?1??，其中0???1，??0，试求yt，Ct． 解：yt满足：yt??yt?1?I??，
解得 yt?C??t???I??It， 从而 Ct?yt?I?C??． 1??1??
5. 已知差分方程(a?byt)yt?1?cyt，其中a，b，c为正的常数．设初始条件
y(0)?y0?0，证明：
(1) 对任意t?1,2,?，有yt?0；
27
(2) 在变换ut?1之下，原差分方程可化为有关ut的线性差分方程，写出该线性差分yt方程并求其一般解；
(3) 求方程(1?2yt)yt?1?yt的满足初始条件y0?2的解． 解：（1）归纳法证明． （2）令 ut?111，即yt?，yt?1?， ytutut?1 则原方程化为线性差分方程 cut?1?aut?b， 其一般解为 c?a时， ut?C()? （3）令 ut?actb ； c?a时， ut?C?b． c?a1，原方程化为 ut?1?ut?2，一般解为 ut?C?2， yt113，代入 y0?2，得 C??， ?utC?22 所以原方程的一般解为 yt? 所以 特解为 yt?2．
第 10 章 （之1）（总第53次）
教学内容：§10.1向量及其运算
???????* 1. 设a?2,b?23,a?b?2，则(a,b)= ．
答：
5?． 6???????????** 2.设向量a与b不平行，则(a,c)?(b,c)的充分必要条件为 ． c?a?b，
答：|a|?|b|．
** 3.设直线L经过点P0且平行于向量a, 点P0的径向量为r0，设P是直线L的任意一点，
试用向量r0，a表示点P的径向量r． 解：∵P0P||a， ∴P0P?ta，
∴r?r0?ta
28
??而r?r0?P0P，
?????
∴P点的径向量为 r0?ta．
??** 4．设 a?2,b?3，a与b的夹角等于?，求：
（1）a?b； （2）(3a?2b)?(a?2b)； （3）(a)b； （4）3a?2b．
23??????2解：（1）a?b?abcos?a,b? ?2?3?cos???3．
3????2??2?? （2）3a?2b?a?2b?3a?4b?4ab
????
?3?2?4?3?4???3???36．
22?（3）?a?b???a?b?3?????1．
3b
?2???2????2??（4）3a?2b?3a?2b?3a?2b?9a?4b?12ab
???? ?9?2?4?3?12???3??108，
22
??3a?2b?108?63．
** 5．设a?4,b?5，a与b的夹角等于?，求：
（1）(a?b)a?b； （2）5a?2b与a?b的夹角．
13??2??解：（1）a?b?a?b??????a?b
?
?2???222 ?a?b?2ab?4?5?2?4?5cos?21，
3??∴a?b?21，
???a?b???a?b?2?2????a?ba?b?a?b42?52321????． ???7a?b2121????
??（2）5a?2b?????2?2????a?b?5a?2b?3ab
? ?5?4?2?5?3?4?5cos22?3?0，
????∴向量5a?2b,a?b垂直．
29
** 6. 若a，b为非零向量，且a?b?a?b，试证a?b．
????解：a?b?a?b，
??2??2∴ a?b?a?b，
??∴a?b????????a?b?a?b???????a?b，
??2?2???2?2??∴a?b?2ab?a?b?2ab，
????∴a?b?0， ∴a?b．
***7．用向量的方法证明半圆的圆周角必是直角． 解：如图所示，AC为直径，B为圆周上任一点， OA??OC， |OB|?|OA|?|OC|，
则有 AB?OB?OA，
????????????????????????CB?OB?OC?OB?OA，
???????????????
B
A O C AB?CB?(OB?OA)?(OB?OA)?|OB|?|OA|2?0，
2????????????????????????∴ 半圆的圆周角必为直角．
第 10 章（之2）（总第54次）
教学内容：§10.2空间直角坐标系与向量代数
1.填空题
*(1) 点A（2，－3，－1）关于点M（3，1，－2）的对称点是______ ．
答：（4,5,?3)
**(2) 设平行四边形ABCD的三个顶点为A(2,?31,),B(?2,4,3),C(3,?1,?3)，则 D 点为
______ ． 答：（7,?8,?5）
**(3) 已知a??4,?5,3?,b??1,?4,z?，且a?b?a?b，则z=______ ． 答：?8
**2. A,B两点的坐标分别为(?2,5,p),(q,?3,1)，线段AB与y轴相交且被y轴平分，求p,q之值及交点坐标．
30
??????
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