解：方程的通解为 y?c1e?c2x，将初始条件代入，有：
xy(0)?c1?1，xy'(0)?c1e?c2?c1?c2?0，
解得c1,c2为： 所以特解为：
c1?1,c2??1，
y?ex?x．
**5．设x1(t)是非齐次线性方程
x??(t)?a1(t)x?(t)?a2(t)x(t)?f1(t)(1)
的解．x2(t)是方程
x??(t)?a1(t)x?(t)?a2(t)x(t)?f2(t)x?x1(t)?x2(t)
(2)
的解．试证明 是方程
x??(t)?a1(t)x?(t)?a2(t)x(t)?f1(t)?f2(t)(3)
的解．
解：因为x1(t),x2(t)分别为方程（1）和方程（2）的解，所以
??(t)?a1(t)x1?(t)?a2(t)x1(t)?f1(t)x1(1)?
x2??(t)?a1(t)x2?(t)?a2(t)x2(t)?f2(t)(1)??(2)?得：
(2)?
?x1(t)?x2(t)???a1(t)?x1(t)?x2(t)???a2(t)?x1(t)?x2(t)???即 x?x1(t)?x2(t) 是方程（3）的解．
f1(t)?f2(t)
第9章 （之6）（总第49次）
教学内容：§9 .4 .3二阶线性常系数方程的解法
**1．解下列问题：
（1）方程y???8y?0的通解为y?_______________．
16
解：y?c1cos22x?c2sin22x．
（2）方程y\?6y'?25y?0的通解为y?_______________． 解：y?e
（3）方程y???8y??15y?0的通解为y?_______________． 解：y?C1e
（4）方程5y???215y??3y?0的通解为y?_______________． 解：y?e
kx（3）方程y???6y??py?0的通解为y?e(C1cos2x?C2sin2x)，则p?___，
?3x(c1cos4x?c2sin4x)．
3x?C2e5x．
?15x5(C1x?C2)．
k?_____． 解：11，?3．
**2．求解下列初值问题：
（1）y???8y??16y?0,2y(1)?e4,2y?(1)?0；
解：∵??8??16?(??4)?0， ∴?1，2?4，
（2）y???4y??29y?0,通解为：y?(c1?c2x)e．
将初始条件代入，有 y(1)?(c1?c2)e?e，
444xy'(1)?c2e4x?4(c1?c2x)e4x?c2e4?4(c1?c2)e4?c2e4?4e4?0
得到：c1?5c2??4，
所以特解为：y?(5?4x)e4x．
y()?1,y?()?3；
22?4?16?116?4?10i???2?5i，
22??解：??4??29?0， ??通解为：y?e?2x2(c1cos5x?c2sin5x)．
17
代入初始条件有： y()?e??(0?c2)?1??2c2?e?，
y?()??2e?2x(c1co5sx?c2sin5x)?e?2x(?5c1sin5x?5c2co5sx)，
?2得：c1??e． 特解为：y?e
（3）y???4y??3y?0,2???2x(?cos5x?sin5x)．
y(0)?6,y?(0)?10；
解： ??4??3?0， (??1)(??3)?0， 所以通解为 y?c1e代入初始条件有：
?x?c2e?3x．
y(0)?c1?c2?6，
y'(0)??c1e?x?3c2e?3x??c1?3c2?10，
特解为：y?14e?x?8e?3x．
**3．求解初值问题
x??y??2y??ydx?10??y(0)?1?x?0
y???2y??y?0
解：将原方程对x求导得
且有
(1)
y?(0)?1?2y(0)??1
微分方程（1）的通解为：
y?e?x(C1x?C2)，
代入初始条件y(0)?1,y?(0)??1，得C1?0,C2?1， 故所求问题的解为：y?e
***4．设函数?(x)二阶连续可微，且满足方程?(x)?1?(x?u)?(u)du，求函数?(x)．
0?x．
?x解：原方程关于x求导得
??(x)??(u)du?x?(x)?x?(x)??(u)du,??(0)?0，
00?x?x再求导得： ???(x)??(x)， 且由原方程还有： ?(0)?1，微分方程的通解为： ?(x)?C1e?C2e
18
x?x，
代入条件?(0)?1,??(0)?0，得C1?C2?故所求函数为： ?(x)?1， 21x(e?e?x)?chx． 2
***5．长为100cm的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．
解：设链条单位长度的质量为?，则链条的质量为100?．再设当时刻 t 时，链条的下端距桌面的距离为x(t)，则根据牛顿第二定律有：
d2xd2xg 100?， 即 ??gx?x?0． 22100dtdt又据题意知：x(0)?20， x?(0)?0，所以 x(t) 满足下列初值问题：
?d2xgx?0?2? ?dt 100?x(0)?20，x?(0)?0?g解得方程的通解为：x?c1e10t?c2e?g10t．
?x?0??20?c1?10??又因为有初始条件： ?'
c?10?2?x?0??0g所以 x?10e10t?10e?g10t．
gt?g10t又当链条全部从桌子边缘滑下时，x?100，求解t，得：100?10e10?10e即： ch，
gt?5， 10t?10garch5．
***6．设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期． 解：取物体的平衡位置为坐标原点，x轴竖直向下，设t时刻物体m位于x(t)处，由牛
顿第二定律：
d2x22?2g?g(x?2)??gx ， dtx?C1cosggt?C2sint， 22其中g?980厘米/秒2 其解为：
振动周期为 T?2?
22???0.28． g49019
第9章 （之7）（总第50次）
教学内容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法； §9.4.4高阶线性常系数微分方程 **1．微分方程y???y?xsinx的一个特解应具有形式 （ ）
（A）(Ax?B)sinx
（B）x(Ax?B)sinx?x(Cx?D)cosx （C）x(Ax?B)(cosx?sinx) （D）x(Ax?B)(Csinx?Dcosx) 解：（B）
**2．设A,B,C,D是待定常数，则微分方程y???y?x?cosx的一个特解应具有形式 （ ）
（A）Ax?B?Ccosx
（B）Ax?B?Ccosx?Dsinx
（C）Ax?B?x(Ccosx?Dsinx) （D）Ax?B?Cxcosx 答：（C）
**3．求下列非齐次方程的一个解 （1）y???y??2y?2x?1； 解：∵ ????2?0，
2∴?1,2?2,?1， ?0不是特征根．
设 yp?b1x?b0， 代入原方程，得：?b1?2b1x?2b0?2x?1， 有：b0?0,b1?1，
?x特解为：y??x．
（2）y???2y??y?e．
解： ∵ ?1 是二重特征根，
∴ 设 yp?xeb0， y?p?2xeb0?xeb0，
2?x?x2?x??2e?xb0?x2e?xb0?2xe?xb0?x2e?xb0， y?p?x代入 y''?2y'?y?e
特解为：y?， 解得：b0?1， 212?xxe． 220
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