华理高数答案（下）(7)

解：令AB与y轴相交于C点，即C为AB的中点，则C点的坐标为 (又C点在y轴上，所以

?2?q5?3p?1 ,,)，

222?2?q?0,2p?1?0，即 q?2,p??1， 2故C点的坐标为(0,1,0)，即交点的坐标为(0,1,0)．

**3.设A,B两点的坐标分别为?0,2,?1?,?1,0,1?．求 （1）向量AB的模； （2）向量AB的方向余弦； （3）使AC?2AB的C点坐标．

222解：（1）AB?{1,?2,2}， 则 AB?1?(?2)?2?3，

所以AB的模为3． （2）cos??1,cos?322??,cosr?．

33（3） 设C的坐标为（x ,y ,z），由AC??2CB 则

x?0?1?(?2)2?0?(?2)(?1)?1?(?2)?2， y???2， z??3，

1?(?2)1?(?2)1?(?2) 所以C点的坐标为(2,?2,3)．

**4. 求p,q的值，使向量{2,p,?4}与{?1,0,q}平行，再求一组使此两向量垂直的p,q值． 解：向量u?{2,p,?4}与v?{?1,0,q}平行，

??即：u??v，

??

2p?4， ∴p?0,q?2， ???10q????向量u与v垂直时， u?v?0，

∴

∴2???1??p?0???4??q?0． ∴q??1， p 为任意值． 2**5.求作用于某点三个力F1?{1,2,3},F2?{?2,3,?4},F3?{3,?4,5}之合力的大小及方

向．

????1,2,3????2,3,?4???3,?4,5???2,1,4?， 解：F合?F1?F2?F3??

31

?222合力的大小 F合?2?1?4?21，

cos??221,cos??121,cos??421，

?其中?,?,?分别为F合与x轴，y轴，z轴的夹角．

** 6.试在xy平面上求一与 a?{1,1,1}成正交的向量．

?解：设所求向量为 b??x,y,z?， ∵ 在xy平面上，

∴z?0， 且 a?b?0， 即：?x,y,0???1,1,1??0， ∴x?y?0，

x??y，

????1,?1,0?与 a??取 x?1,y??1， ∴ 向量 b??1,1,1?正交．

** 7.设a?{1,?2,2}，b?{3,0,?4}，求：

????（1）a?j； （2）b?k；

（3）(2a?b)?(a?b)； （4）(a?b)?(3a?b)． 解：（1）a?j?(i?2j?2k)?j??2． （2）b?k?(3i?4k)?k?3i?k??3j．

（3）(2a?b)?(a?b)?{2?1?3,2?(?2),2?2?4}?{1?3,?2,2?(?4)}

?{5,?4,0}?{?2,?2,6}?5?(?2)?(?4)?(?2)?0?6??2． （4）(a?b)?(3a?b)?{4,?2,?2}?{0,?6,10}?{?32,?40,?24}． ** 8.设a?{0,1,?1}，b?{2,?1,1}，求：

（1）(a)b,(b)a； （2）a与b的夹角． 解：（1）(a)?ba?b{0,1,?1}?{2,?1,1}???1；

22b(2)?(?1)?1 32

???b?a?? ba??a???2,?1,1???0,1,?1???1???1?222；

（2）a?b?ab?cos?， 即 ?2? 又 0????，所以 ??

2?2?co?s， 则 cos???2， 23?3?，即a与b的夹角为． 44** 9.在yz平面内求模为10的向量b，使它和向量 a?8i?4j?3k 垂直．

?解：∵ 向量b在yz平面内， ∴ 可设坐标为 ?0,y,z?，

????∵ b?a， ∴ b?a?0，

即：?0,y,z???8,?4,3??0， ∴?4y?3z?0，

?又 b?y2?z2?10， ∴z?8,y?6， 或 z??8,y??6，

?∴向量b的坐标为：?0,6,8? 或 ?0,?6,?8?．

*** 10. 试证明

?ai?132i??bi?132i??abi?13ii．

其中a1,a2,a3及b1,b2,b3为任意实数．

??,b1,b2,b3?， 解：设a,b的坐标分别为?a1,a2,a3??

???????? a?b?a?bcos?a,b??a?b，

即：a1b1?a2b2?a3b3?∴

a1?a2?a3?b1?b2?b3，

3222222

?ai?132i??bi?132i??abi?1ii．

第 10 章（之3）（总第55次）

教学内容：§10.3平面与直线[10.3.1]

**1.解下列各题

33

(1) 平行于x轴，且过点P?(3,?1,2)及Q?(0,1,0)的平面方程是______ ． 答：y?z?1

(2) 与xOy坐标平面垂直的平面的一般方程为______ ． 答：Ax?By?d?0(A2?B2?0)

????? (3) 过点P?(1,2,1)与向量S1?i?2j?3k,S2??j?k平行的平面方程为_____ ．

答：x?y?z?0

(4) 点 M0?(6,2,?1) 到平面 x?2y?2z?6?0的距离为d?___________． 解： d?6?2?2?2???1??61???2??222?2．

（5）平面3x?3y?6?0是 （ ） （A）平行于xOy平面 （C）垂直于y轴

（B）平行于 z轴，但不通过 z轴 （D）通过z轴

答：B

**2.填表讨论一般方程Ax?Bx?Cz?D?0中，系数A,B,C,D中有一个或数个等于零的

特殊情况，与图象的特征的对应关系．

系 数 情 况 图 像 特 征 平面Π过z轴 平面Π垂直于y轴 C?0，ABD?0 A?D?0，BC?0 解：Ax?By?Cz?D?0，

（1）C?0,ABD?0 平行于z轴（不包括过z轴）的平面．

（2）A?D?0,B?C?0过x轴的平面（不包括过y轴、z轴的平面）． （3）C?D?0,A?B?0,(A?B?0)过z轴的平面． （4）B?0,A?C?0 平面垂直于y轴．

22

3．在下列各题中，求出满足给定条件的平面方程：

**（1）过点P???1,3,?2?及Q??0,2,?1?且平行于向量l??2,?1,?1?；

? 34

??解：所求平面的法向量n垂直于向量l??2,?1,?1?与由点P???1,3,?2?与点Q??0,2,?1?构

???ijk??1,?1,1?，故取n?PQ?l?1?11??2,3,1?． 成的向量PQ??2?1?1故可得所求平面方程为 2?x?1??3?y?3???z?2??0， 即 2x?3y?z?5?0．

**（2）过z轴且垂直于平面3x?2y?z?7?0； 解：平面3x?2y?z?7?0的法向量 n??3,?2,?1?，

0故所求平面法向量n与n垂直，与z轴正交，故可取

?0??0n?n?k?3?2?1???2,?3,0?，

001?i?j?k所求平面过z轴，故此平面必经过原点?0,0,0?， 故可得所求平面方程为 ?2x?3y?0z?0， 即 2x?3y?0．

**（3）垂直于yz坐标面，且过点P??4,0,?2?和Q??15,1,7?；

1,1,9?．又由题意可知所求平面解：由题意可知P??4,0,?2?、Q??15,1,7?，所以PQ??法向量 n 即与x轴垂直，又与向量PQ垂直，故可取

? n?PQ?i?1???i1??jk19??0,9,?1?， 00

故可得所求平面方程为：9?y?0????1??z?2??0， 即： 9y?z?2?0．

***4.自点P0?(2,3,?5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程．

35

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库华理高数答案（下）(7)在线全文阅读。