解二：原方程写成
dx22?x??3x2， dyyydz22?z?3， dyyy令x?1?z，则方程化为：
2dyy则通解 z?e??2??12?ydydy??2[C?2lny] ， ?C??3ey????y 故原方程通解：
11?2[C?2lny]． xy**5．求下列伯努力方程满足初始条件的特解：y??y?2x，y(0)?1． y解：?y'?y?2xy, ?yy'?y??2x，
令 t?y ?2?12dt?2t??4x， ?P(x)??2, Q(x)??4x， dx?t(x)?e??C?(?4x)e??2dxdx? ?e2xC?4xe?2xdx?????? ?e2x[C?2xe?2x?e?2x)] ?Ce2x?2x?12dx??
?y2?2x?1?Ce2x?y(0)?1，?1?2?0?1?Ce0?y2?2x?1
****6．作适当的变换求方程
2?C?01?x2sin2y?y??2xsin2y?e21?x21?x2 的通解．
解：原方程化为：
dsin2y1?x?2xsin2y?e2dxdz2x?z?e2dx1?x21?x2，
令z?siny，得
21?x2 ，
故 z?e?2x1?x2dx???C????e21?x21?x2e??2x1?x2dx??dx? ???Ce21?x2?e21?x2ln(x?1?x2)
221?x2原方程的通解为 siny?Ce?e21?x2ln(x?1?x2)．
11
***7．已知2?x0y(?)1?y?2(?)d??2x?y2(x)，求y(x)．
2解：两边关于x求导得 2yy??y??1，
解得 由yx?0y2?Cex?1，
?0，求得
2C??1，
x故原方程的解为：y?1?e．
***8．曲线过点(11,)，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线在x轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程． 解：
x2?y2?2x(x?yy?),y(1)?1,
22yy??
12y??x x
令y?z，解得
z?y2?x(C?x)
由y(1)?1， 得 C?2， 曲线方程为： x?y?2x．
***9．根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为 v??A2gh，其中 g为重力加速度，h为液面与底部孔口之间的距离，A为孔口面积，?为孔口收缩系数，实验确定其取值为 ??0.62．现有一直径为1m，高为2m的直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为d?1cm的圆孔流出，要多长时间容器内的水才会完全流尽？
解：设在时刻t时， 容器中液面高度h(t)，则经过?t后液面高度为h(t??t)， 于是有
22
?r2(h(t)?h(t??t))??A2gh(t)?t，
即 ?h(t??t)?h(t)?A2gh?， 2?t?r令?t?0， 得
?dh?A???2 ?dt?r?h(0)?200?解得
2gh
h??A2gt?200， 22?r代入h?0， g?980， r?50， A??4， ??0.62， 得t?10304（秒）．
12
第9章 （之4）（总第47次）
教学内容：§9.3可降阶的高阶微分方程
**1．解下列问题：
（1）．微分方程y??y???xy??满足条件y?(2)?1,y(2)?1的解是 （ ） （A）y?(x?1)2 （B）y?(x?1)2?2124
（C）
y?122(x?1)2?12
（D）y?(x?12)?54
解：（C）
（2）．微分方程y???2yy?3?0满足条件y?(0)??1,y(0)?1的解是 A）y3（13?x?
B）x33
（3?y?1
（C）y33??x?13
（D）x33??y?1
解：（C）
**2．求下列微分方程的通解． （1）xy???y??0；
解： ? xy???y??0 是一不显含因变量y的二阶方程， 令 p?y? ? y???dpdx ?xp??p?0， ?dpdxp=?x， ??dpC1p???dxx ? lnp??lnx?lnC1 ?p?x， ?
dyC1dx?x， dy?C1xdx， ?dy??C1xdx ，y?C1lnx?C2．（2）(1?x2)y???2xy??1； 解：y???2x111?x2y??1?x2， y??1?x2(x?C1)， y?12ln(1?x2)?C1arctanx?C2 ．
13
）
（
（3）yy????y???0；
2解：∵yy????y???0， 令 p?y?， 则 y???p2dp，代入方程有 dyy?p?dp?p2?0， ?dyp(y?dp?p)?0， dy因为求通解，所以 p满足 y?dp?p?0． dy 由
dp?dy?py?dyC1?dxy2??C1dpdy， ， ?lnp??lny?lnC?p???1?p?yyydy?C1?dx?2??y?C1x?C2． ydy?Cdx1????∴ 通解：y?C1x?C2． （4）(1?y)y???2yy?
解：令：y??p(y),y???pp?，得
即
22(1?y2)p?p??2p2y， p?C1(1?y2)，
dp2y?dy， 得 p1?y2所以
dy?C1dx，通解为：arctany?C1x?C2． 21?y第9章 （之5）（总第48次）
教学内容：§9 .4 .1二阶线性方程和解的存在性；§9 .4 .2二阶线性方程解的结构
**1．若y1,y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?R(x)的两个解，试证y2?y1 必是其对应齐次方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解．
证明：因为y1,y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?R(x)的解． 所以成立下式：
???P(x)y1??Q(x)y1?R(x)y1???P(x)y2??Q(x)y2?R(x)y2
14
(1)(2)
将 (1)、(2) 两式相减，得
???y2??)?P(x)(y1??y2?)?Q(x)(y1?y2)?0(y1(2) 式可写为
(3)
(y1?y2)???P(x)(y1?y2)??Q(x)(y1?y2)?0，
所以 y1?y2 是齐次方程 y???P(x)y??Q(x)y?0 的解．
***2．已知y1?1,y2?1?x,y3?1?x是方程y???否求出该方程得通解？若能则求出通解来．
解：按（1）证明可知 y2?y1?x,2222y??2y?2的三个特解，问能xxxy3?y1?x2 分别是其对应齐次方程
y???
22y??2y?0的解，并且线性无关，所以C1x?C2x2 为齐次方程的通解． xx2所以原方程的通解可以表示为：y?C1x?C2x?1．
*3．验证：e,e解．
证明：因为
t2?t2是微分方程x???1x??4t2x?0的两个线性无关特解，并求此方程的通t????t2?t2\?1t2?222221e?e?4t2et?2et?4t2et??2tet?4t2et?0，
tt2222211?t2??e?4t2e?t??2e?t?4t2et??(?2te?t)?4t2et?0， tt2?e???故e,et2t2?t2是方程的解，且
?t2ete?t2?e2t?常数．
2
于是e,e
是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为
22x?C1et?C2e?t，
其中C1,C2为任意常数．
*4．已知函数 y1?e,y2?x 是方程 (1?x)y???xy??y?0 的两解，试求该方程满足初始条件 y(0)?1,y?(0)?0 的特解．
15
x
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