华理高数答案（下）(2)

**5．求满足关系式

?x2uy(u)du?x2?y(x)的可导函数y(x)．

dy，dx解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x求导，可得微分方程xy(x)?2x?即

dydy?xdx，积分得y?Ce?xy??2x，分离变量得

y?2dx在原方程两边以x?x22?2，

2代入，可得初试条件yx2?12x?2??2．据此可得C??4e?1，所

以原方程的解为 y??4e

?2．

**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k），求降落伞的下落速度与时间的函数关系． 解：根据牛顿运动第二定理有m分得

dv?mg?kv．这是一个可分离变量方程，分离变量并积dt1t?ln(mg?kv)??C． kmk?t?mg?1m由初始条件v(0)?0， 得C??ln(mg)，即得 v??1?e?．

k?k?

**7．求一曲线，已知曲线过点(0,1)，且其上任一点(x,y)的法线在x轴上的截距为kx． 解：曲线在点(x,y)处的法线斜率为?11，所以法线方程为Y?y??(X?x)．

y?y?只要令Y?0，就可以得到法线在x轴上的截距为 X?x?yy? ．

据题意可得微分方程x?yy??kx，即yy??(k?1)x．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得所求曲线y?(1?k)x?C，由于曲线过点(0,1)，所以C?1，所以所求曲线方程为

***8．求与抛物线族y?Cx（C是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程． 解：在给定曲线y?cx上任意一点(x,y)处切线斜率为k0?y??2cx，从上面两式中消去c得k0?y??2222y2?(1?k)x2?1．

2y2y，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程y??． xx 设所求曲线方程为 y?y(x)，在同一点(x,y)处切线斜率为k?y?，则根据正交要

6

求有k0k??1，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程y???x． 2y这是一个可分离变量方程，分离变量2ydy??xdx，积分得所求曲线族y2??即椭圆族y2?12x?c，212x?c． 22的通解． 2x?1***9．作适当变换，求微分方程 y??4e?y?解 原方程可化为eyy??22zey?4，在换元z?ey下方程可化为z???4，这2x?12x?1

是一个一阶线性方程，其通解为

z?e??2dx2x?12dx???12x?1dx??{C?4x?4x2}． ?C??4e??2x?1?y2?dyy1??tan??的通解． ***10．作适当变换，求微分方程

dx2x2y?x?y2dudx解：令y?ux，代入方程整理得 ，积分得 sinu?Cx，以 u? 代入?xtanux2上式，即得原方程的通解：

y2sin?Cx ．

x第9章 （之3） （总第46次）

教学内容：§9.2 .3齐次型方程；9.2.4伯努利方程．

**1．求下列微分方程的通解：

dyy?(1?lny?lnx)； dxxdyydyyy解： ? =(1+ln)，这是一个一阶齐次型方程． ?(1?lny?lnx)， ?

dxxdxxx(1)

令 u?y，则 y?ux，即y??u?xu?，于是原方程可化为xu??ulnu．这是一个xdudxdudx? ，并积分???，得lnlnu?lnx?lnc，即u?ecx． ulnuxulnux可分离变量方程．

分离变量以 u?ycx代入，得所求的通解为y?xe． x7

（2）(xy??y)arctan解：方程可化为y??y?x． x1yarctanx，这是一个一阶齐次型方程．

y?x令 u?du1y，则 y?ux，即y??u?xu?，于是原方程可化为x，这是一个?dxarctanux2uarctanu可分离变量方程．

分离变量后积分得 x1?u?Ce．

yyarctanyx． 以 u?代入上式得原方程的通解：x2?y2?Cexx**2．求解下列初值问题：

（1）xydx?(2x?y)dy?0 满足初始条件 y(2)?1 的特解． 解: ? xydx?(2x?y)dy?0，

2222dx2xyx=?， 令 u? ， dyyxy 则 u?ydududu1dydy=， ??=?， ?2u?，

1y1dyuyu?u?uu1?ln(u2?1)?lny?lnc， ?u2?1?cy， 即 u2?1?c2y2 ， 2x2224222 代回即得2+1=cy， ?y(2)?1， ?c?5， 因此 x?y=5y．

y?(x?y)dx?(x?y)dy?0,（2）??yx?0?0.1?

ydyx?yx，令 u?y，y??u?xu?， ??解：原方程可表为

dxy?xyx?1xdu1?2u?u21?u?代入方程，有 u?xu??，即 x， dxu?1u?1分离变量

u?111，积分得 du?dx?ln(1?2u?u2)?lnx?lnC 2x21?2u?u?通解 x2?2xy?y2?C，令 x?0,y?0，得 C?0．

所以初值问题的解为 x2?2xy?y2?0．

8

***3．试证明：当a1b2?a2b1时，总能找到适当的常数h，k，使一阶微分方程

y??f(a1x?b1y?c1)

a2x?b2y?c2at?b1sds?f(1)． dta2t?b2s在变换s?y?k，t?x?h之下，可化为一阶齐次型方程

并求方程 (x?2y?1)dx?(2x?3y)dy?0 的解．

?a1x?b1y?c1?a1t?b1s证明：令? ?a1b2?a2b1，

ax?by?c?at?bs2222?2a2c1?a1c2??s?y?k???a1b2?a2b1?? ?可解得：? 因此可取：??t?x?b1c2?b2c1?h???a1b2?a2b1??a2c1?a1c2a1b2?a2b1b1c2?b2c1a1b2?a2b1

?s?y?2?ds?dy解：?(x?2y?1)dx?(2x?3y)dy?0，令? ? ?

t?x?3dt?dx????t?3?2(s?2)?1?dt??2(t?3)?3(s?2)?ds?0，?t?2s?dt?(2t?3s)ds?0，

?1?2s3sds?(2?)?0ttdt2sdst， ???3sdt2?t1?sdsdu， ??u?ttdtdtdu1?2udu(3u?1)(u?1)， ?u?t???t??dt2?3udt3u?2令u???1?(3u?2)dt3dtdu??,????du??， ??(3u?1)(u?1)t2(u?1)2(3u?1)t??1即 ln(u?1)(3u?1)??lnt?lnc，

2?(u?1)(3u?1)?t?c?s3st(?1)(?1)?c，

tt?

(x?3)(1?y?23y?6)(1?)?c?3y2?x2?4xy?2x? c． x?3x?39

**4．求下列微分方程的通解

（1）xy??y?ylnx?0；

21?1lnx y??xxdt1lnx1lnx 令t?y?1?， ?P(x)?, Q(x)??t?,dxxxxx解： ?xy'?y?ylnx?0 ?y?2y'?2

11lnx?xdx?1?lnx??xdx??t(x)?eC?edx ?C??xdx???x??? xx?????

?Cx?1?x?x(xlnx?x) ?Cx?1?lnx?1， y?1?lnx?1?Cx?1．

（2）(y?2xy)dx?xdy?0．

?2212dy1y， y2y?+y2=解： ? (y?2xy)dx?xdy?0， +y=，

xdxxxx12111 u?y，

11du11+， ?P(x)?，Q(x)． u?dx2x2xxx11111????1?2xdx?1?2xdx?edx??x2?C??x2dx??x2?C?x?， ?u(x)?e?C??xx????? ? y?x

12?12?C?x?， ?y?x?Cx．

y3（3）y??

2(xy2?x2)?u???u??dux2?解一：令u?y，原方程化为： ，解此方程得 u?Cex， dx?u????1?x?以u?y代入上式，原方程通解为 y2?Ce

22y2x．

10

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