华理高数答案（下）(5)

**4．求微分方程y???3y??2y?xe满足条件y(0)?y?(0)?0的特解． 解：特征方程r?3r?2?0的根为r1?1,r2?2，相应齐次方程的通解为

2xyh?C1ex?C2e2x，

x

设特解为yp?x(Ax?B)e，代入方程得： A??,B??1 ． 故方程的通解为

12y?C1e?C2ex2x?x2?x????x?2?e，

??

代入条件y(0)?y?(0)?0，得C1??1,C2?1，因此所求特解为

**5． 求下列非齐次方程的通解：y???2y??f(x)

y?e2x?x2?x????x?1?2?e．

??

1)f(x)?4x?1,2)f(x)?e2x,3)f(x)?cosx；

解：特征方程：??2??0， 特征根： ?1?0,所以方程y???2y'?0的通解为 yh?c1?c2e?2x2?2??2，

．

1）对于方程y???2y'?4x?1， 由于0是特征方程的单根，故设其特解为：

yp?(b0x?b1)x，

代入方程有：2b0?4b0x?2b1?4x?1，解得 b0?1b1??所以特解为：yp?x?21， 21x． 2?2x所以方程的通解为：y?yh?yp?c1?c2e

?x2?1x． 22x2x2）对于方程y????2y'?e，由于2不是特征方程的根，故设其特解为：yp?eb0，

代入方程有：b0?112x， yp?e， 88?2x所以方程的通解为：y?yh?yp?c1?c2e1?e2x． 8 21

3）对于方程：y????2y'?cosx，由于?i不是特征方程的根，故设其特解为： yp?b0cosx?b1sinx， 代入方程有：yp'??b0sinx?b1cosx， yp\??b0cosx?b1sinx，

?b0cosx?b1sinx?2b0sinx?b1cosx?cosx， 得：b0??12b2?， 5512yp??cosx?sinx，

55?2x所以方程的通解为：y?yh?yp?c1?c2e

12?cosx?sinx． 55**6．求微分方程y???6y??9y?25esinx的通解．

解：特征方程r2?6r?9?0的根为r1,2?3，相应齐次方程的通解为

yh?(C1?C2x)e

x3xx

设特解为yp?e(Acosx?Bsinx)，代入方程得：A?4,故方程的通解为

B?3

y?(C1?C2x)e3x?ex(4cosx?3sinx)

***7．已知曲线y?y(x)(x?0)过原点，位于x轴上方，且曲线上任一点M?(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴，直线x?x0所围成的面积与该点横坐标的和，求此曲线方程．

解：由已知y(0)?0，且y??

?ydx?x,y?(0)?0，将此方程关于x求导得

0x y???y?1

x?x

其通解为： y?C1e?C2e?1 ，

代入初始条件y(0)?0,y?(0)?0，得 C1?C2?故所求曲线方程为：y?1， 21x(e?e?x)?1?chx?1． 222

***8．设一物体质量为m，以初速v0从一斜面滑下，若斜面与水平面成?角，斜面摩擦系数为?(0???tan?)，试求物体滑下的距离与时间的关系．

解：设t时刻物体滑过的距离为S，由牛顿第二定律

d2Sm2?mgsin???mgcos? dt

且 S(0)?0,S?(0)?v0 方程的通解为

S?12gt(sin???cos?)?C1t?C2 2代入初始条件得C1?v0,C2?0，故物体滑下的距离与时间的关系为

S?12gt(sin???cos?)?v0t 2

***9．设弹簧的上端固定，下端挂一质量为m的物体，开始时用手托住重物，使弹簧既不伸长也不缩短，然后突然放手使物体开始运动，弹簧的弹性系数为k，求物体的运动规律．

解：取物体未发生运动时的位置为坐标原点，x轴垂直向下，设t时刻物体位于x(t)处，

d2x?kx?mg， 且 x(0)?0，x?(0)?0． 由牛顿第二定律： m2dt方程的通解为： x?C1cos代入初始条件得C1??

kkmt?C2sint?g， mmkmg,C2?0，故物体的运动规律为 kmg?k?t?． x??1?cosk?m?

***10． 求下列方程的通解： （1）y(4)?2y????y???0；

322222解： ??2????0， ?(??2??1)?0， ?(??1)?0，

4（c3?c4x）e． 所以通解为 y?c1?c2x?

23

x（2）y4(4)?5y???36y?0．

22解：??5??36?0， (??2)(??2)(??9)?0，

所以通解为 y?c1e2x?c2e?2x?c3cos3x?c4sin3x．

****11* 试证明，当以 t?lnx为新的自变量时，变系数线性方程（其中a,b,c为常数，这是欧拉方程）axy\?bxy'?cy?f(x)可化为常系数线性方程

2d2ydya2?(b?a)?cy?f(et)并求下列方程通解：

dtdt（1）xy???2y?0； （2）xy???xy??2y?xlnx． 证明：令 t?lnx，

22x?et，

dydydt1dy， ??dxdtdxxdt

d2y1dy1d?dy?1?d2ydy????2?? ， ???2?22?dt?dxxdtxdx?dt?x?dt?将y?,y??代入方程有：

?d2ydy?dyd2ydy???axy???bxy??cy?a???b?cy?a?b?a?cy?fet， 2?dt2dt?dtdtdt??2?? 得证．

t（1）令 t?lnx， x?e，

原方程化为：

d2ydy??2y?0． 2dtdt其通解为

y?c1e2t?c2e?t．

2将x代入，得：y?c1x?c2． xt（2） 令 t?lnx， x?e，

原方程化为：

d2ydyt?2?2y?te， 2dtdtyh?et?c1cost?c2sint?．

24

上述方程的相应其次方程的通解为：

令上述方程一个特解为： 代入方程得：b0?1,b1?0， 原方程得通解为：

yp?et?b0t?b1?，

t即：yp?et．

y?et?c1cost?c2sint?t?，

即：y?x?c1cos?lnx??c2sin?lnx??lnx?．

***12．一质量为m的潜水艇在水面从静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比（比例系数为k>0），浮力为常数B，求潜水艇下降深度x与时间t之间的函数关系． 解： F重?F阻?B?ma， a为加速度， mg?kv?B?ma， v为下降速度，

dxdvd2xdxd2x 因为 v?,a??2， 所以 mg?k?B?m2，即

dtdtdtdtdtd2xkdxB ， ??g?2mdtmdt其特征方程为： ??2kk??0， 解得特征根为 ?1?0,?2??．

mmk?tm所以对应的齐次方程的通解为：xh?c1e?c2．

由于0是特征方程的单根，故设其特解为：x1?b0t， 代入方程有：

kBmg?B． b0?g?， 得 b0?mmkk?tm所以微分方程的通解为：x?c1e?c2?mg?Bt， kx'?0??0，

因为初始位置为０，初始速度为０，所以有初始条件 x?0??0,?c1?c2?0?0?代入微分方程有： ?k mg?B?c1??0?k?m求得：

c1?m2g?Bmk2,c2?Bm?m2gk2，

k?t?Bm?m2g?mg?Bm??1?e?t． 所以x与t的关系可表示为： x?2??kk?? 25

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