18、19： 向量与圆锥曲线(教师版)(8)

向量与圆锥曲线(教师版)

y=kx-1与曲线E交于A,B两点。

如果AB ，且曲线E上存在点C，使OA OB mOC，求m的值

和 ABC的面积S。

由双曲线的定义可知，曲线E

是以F1,F2

为焦点的双曲线的左支，

且c

a 1，易知b 1，故曲线E的方程为x2 y2 1 x 0

y kx 1

设A x1,y1 ,B x2,y2 ，由方程组 2 2

x y 1

22

消去y，得 1 k x 2kx 2 0

又已知直线与双曲线左支交于两点A,B，有

1 k2 0 22

2k 8 1 k 0

解得 k 1

x x 2k 0

12

1 k2 2 x1x2 0 1 k2

又∵ AB

x1

x2

依题意得

4

2

整理后得 28k 55k 25 0

552

或k 但

k 1 ∴k

74故直线ABx y 1 0

设C xc,yc ，由已知OA OB mOC，得 x1,y1 x2,y2 mxc,myc

2∴k

x1 x2y1 y2

, ， m 0

m m

2k2k22

y1 y2 k x1 x2 2 2 2

2又x1 x2 2 8 k 1k 1k 1

8064

∴点C8 将点C的坐标代入曲线E的方程，得2 2 1

m mm

∴ xc,yc

，

得m 4，但当m 4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴

m 4，C点的坐标为2，C到AB

1 3

∴ ABC的面积S

11

23

2

【例8】已知函数y kx与y x 2(x≥0)的图象相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1，l2分别是

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