向量与圆锥曲线(教师版)
（2）由（1）知直线AB过定点C，又由OM AB 0及AM＝ BM（ R）知OM AB，垂足为M，
所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x+(y-p)=p(x 0，y 0)。
2
2
2
4x2y2
【例3】椭圆2 2 1(a,b 0)的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，| PF1|=，|
3ab
14PF2|=.
3
（I）求椭圆C的方程；
22
（II）若直线l过圆x+y+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。
解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以2a PF1 PF2 6，a=3. 在Rt△PF1F2中，F1F2
2
2
2
PF2 PF1
22
2,故椭圆的半焦距c=,
x2y2
从而b=a－c=4, 所以椭圆C的方程为＝1. 94
(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.
22
由圆的方程为（x+2）+(y－1)=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得
2222
（4+9k）x+(36k+18k)x+36k+36k－27=0.
x1 x218k2 9k
2. 因为A，B关于点M对称. 所以2
24 9k
8
解得k ，
9
8
所以直线l的方程为y (x 2) 1, 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)
9
解法二：(Ⅰ)同解法一.
22
(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）+(y－1)=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1 x2且
xy
1 1 1, ①
9422x2y2
② 1,
94
(x x2)(x1 x2)(y1 y2)(y1 y2)
0. ③ 由①－②得 1
94
因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
22
y1 y288＝，即直线l的斜率为， 99x1 x2
8
所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.
9
代入③得
(经检验，所求直线方程符合题意.)
A，B两【例4】已知双曲线x y 2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于
点．
22
O为坐标原点），求点M的轨迹方程； （I）若动点M满足FM F1A F1B FO11（其中
（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；
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