18、19： 向量与圆锥曲线(教师版)(7)

向量与圆锥曲线(教师版)

k2 1 0，即k2 4 ∴ 2 k 2

∵

11k2 k2

44

3

故由①、②得 2 k

k 2 x2y2

【例6】已知椭圆 1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的

32

直线交椭圆于A、C两点，且AC BD，垂足为P.

x02y02

1；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值。 （Ⅰ）设P点的坐标为(x0,y0)，证明：32

（Ⅰ）证明:

椭圆的半焦距c 1， 由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，

2222

x0y0x0y0122

≤ 1． 故x0 y0 1，所以，32222

（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k 0时，BD的方程为y k(x 1)，

x2y2

1，并化简得(3k2 2)x2 6k2x 3k2 6 0． 代入椭圆方程326k23k2 6

设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则：x1 x2 2，x1x2 ，

3k 23k2 2

BD x1 x2 ；

因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为

1

．

k

1 2 1

k 所以，AC ． 13 2 2k

124(k2 1)2 (k2 1)296

≥ 四边形ABCD的面积S BD AC ．

2(3k2 2)(2k2 3) (3k2 2) (2k2 3) 225

2

当k=1时，上式取等号．

（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4． 综上，四边形ABCD的面积的最小值为【例7】

已知两定点F1,F2

2

，满足条件PF2 PF1 2的点P的轨迹是曲线E

，直线

96． 25

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