18、19： 向量与圆锥曲线(教师版)(2)

向量与圆锥曲线(教师版)

1．三点共线问题； 2．公共点个数问题； 3．弦长问题； 4．中点问题； 5．定比分点问题； 6．对称问题；

7．平行与垂直问题； 8．角的问题。

近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为

（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。

（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。

特别提醒： 法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。

★★★突破重难点

2

【例1】在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y＝2x相交于A、B两点．

（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA OB＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

2

[解]（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于 点A(3,)、B(3,－). ∴ =3；

当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y k(x 3)，其中k 0，

y2 2x由 得 ky2 2y 6k 0 y1y2 6 y k(x 3)

又 ∵ x1 y12,x2 y22，

22

∴OA OB x1x2 y1y2 1(y1y2)2 y1y2 3，

综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么 =3”是真命题；

2

(2)逆命题是：设直线l交抛物线y=2x于A、B两点,如果 =3,那么该直线过点T(3,0).该命

题是假命题.

1

例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时OA OB=3,直线AB的方程为：y (x 1)，而T(3,0)

32

2

不在直线AB上；

说明：由抛物线y=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足 =3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果

y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).

【例2】已知A,B为抛物线x=2py(p>0)上异于原点的两点，OA OB 0，点C坐标为（0，2p）

2

（1）求证：A,B,C三点共线；

（2）若＝ （ R）且OM AB 0试求点M的轨迹方程。

x12x22

（1）证明：设A(x1,),B(x2,)，由OA OB 0得

2p2p

x12x22

x1x2 0, x1x2 4p2，

2p2p x12 x22 x12

),AB (x2 x1,) 又 AC ( x1,2p 2p2p

x22 x12x12

x1 (2p ) (x2 x1) 0，

2p2p

AC//AB，即A,B,C三点共线。

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