18、19： 向量与圆锥曲线(教师版)(6)

向量与圆锥曲线(教师版)

第十九讲 向量与圆锥曲线（二）

x2

y2 1的左、右焦点. 【例5】设F1、F2分别是椭圆4

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1 PF2的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

解：（Ⅰ）解法一：

易知a 2,b 1,c

，所以F1,F2

，设P x,y ，

则PF1 PF2 x, y,

x21

x, y x y 3 x 1 3 3x2 8

44

222

因为x 2,2 ，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1 PF2有最小值-2 当x= 2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1 PF2有最大值1

解法二：易知a 2,b 1,c

F1,F2

，设P x,y ，则

2 2 2 PF1 PF2 F1F2PF1 PF2 PF1 PF2 cos F1PF2 PF1 PF2

2PF1 PF21

x 2

2

y x2

2

y2 12 x2 y2 3（以下同解法一）

（Ⅱ）显然直线x 0不满足题设条件，可设直线l:y kx 2,A x1,y2 ,B x2,y2 ，

y kx 2

21 2

y联立 x2，消去，整理得： k x 4kx 3 0 2

4 y 1

4

∴x1 x2

4kk2

4

,x1 x2

3k2

4

由 4k 4 k

2

1 2

k k

得：或 3 4k 3 0

4

又0 A0B 90 cos A0B 0 OA OB 0，∴OA OB x1x2 y1y2 0

k2 1 8k2

4 又y1y2 kx1 2 kx2 2 kx1x2 2k x1 x2 4

k2 k2 k2

444

2

3k2

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