由于阵列响应误差以及采样快拍数的有限性，用采样相关矩阵逆代替干扰加
1噪声相关矩阵逆Ri??n的真实值必然会引起波束形成器性能的损失。因此，有必要
采用鲁棒性方法来提高波束形成器的稳健性，克服上述原因所引起的性能损失，传统的做法是采用传统的对角线加载技术，这时最佳矢量的表达式为：
???I]?1?2CCH} (3.7.14) wDLcum??{[Rs44由上节的式(3.7.11)可以看出，在利用高阶累积量方法估计期望信号方向矢量的过程中，只以阵列第一个阵元为参考点来计算阵列接收数据向量，这样如果第一个阵元信号接收通道由于故障中断或阵元传感器存在质量问题接收信号发生较大畸变的时候，无疑将导致估计出的期望信号方向矢量与其本身的真实值之间存在很大误差，从而使波束形成算法结果恶化。为了充分利用阵列接收数据，可以定义方向矢量C，该矩阵中的每一个元素可按下式计算：
?,M, (3.7.15) Cim?cum{xi(k),xi*(k),xi*(k),xi(k)} i,m?1,2矩阵C中，所有列向量都是阵列期望信号方向矢量的一种复制形式，因此该矩阵的秩为1，我们取与矩阵最大奇异值相对应的左奇异向量作为期望信号方向矢量的估计[43]。
3.8 基于周期平稳性的波束形成算法
高阶累积量方法虽然能够有效地提取非高斯信号，抑制高斯干扰信号，但是当干扰也是非高斯信号的时候，高阶累积量方法将难以奏效，这是高阶累积量盲波束形成算法本身的局限性所在。而实际上大多数人为设计的信号都是周期平稳信号，因此Wu Q和Wong K.M以信号周期平稳性为基础提出了CAB (Cyclic Adaptive Beamforming)类盲自适应波束形成算法[44](包括CAB算法、C-CAB算法和R-CAB算法)，该算法可以有效地提取期望信号，抑制相邻信号干扰。CAB类盲波束形成算法首先利用期望信号的周期平稳特性估计出相应的期望信号阵列方向矢量，进而利用MVDR算法求解最佳权矢量来完成最佳阵处理。显然由于干扰与噪声的影响以及采样快拍数的限制等原因，CAB类算法所估计出的方向矢量与期望信号真正方向矢量之间也必然存在一定程度的误差，所以为克服方向矢量误差以及采样相关矩阵误差对波束形成器性能的影响，需要采用鲁棒性方法来改善算法性能与稳健性。R-CAB算法中所采用的鲁棒性方法是传统的对角线加载技术。本文第三章中提到，最近两年基于边界误差性能最优准则(WCPO)的鲁棒性波束形成算法[45]成为研究热点，并取得巨大进展。本章将这种基于边界误差性
能最优准则的鲁棒性方法应用推广到CAB类算法上，提出了一种改进鲁棒性的CAB盲波束形成算法，即WCPO-CAB算法，并在计算机上对该新算法进行了仿真分析，仿真结果表明该算法与采用传统对角线加载技术的R-CAB算法相比，进一步提升了CAB类盲波束形成器的稳健性与输出信噪比。
3.8.1 阵列模型与信号周期平稳性
3.8.1.1阵列模型
设有M元阵列，满足窄带假设条件，阵列接收数据的数字化表示形式为：
x(k)??d(?p)sP(k)?i(k)?n(k) (3.8.1)
p?1Pi(k)为M?1维干扰，式中，sP(k)表示第p个期望信号，sP(k)为相应的方向矢量，
n(k)为M?1维平稳噪声。自适应波束形成算法的目标是确定出最佳权矢量wp，
进而恢复出期望信号：
?P(k)?wHx(k) (3.8.2) sp3.8.1.2信号周期平坦性
周期平稳信号是一种特殊的非平稳随机信号，其统计特性随时间变化而呈现出某种周期性。信号s(k)的周期平稳相关函数(CCF：Cyclic Correlation Function)和周期共轭平稳相关函数(CCCF：Cyclic Conjugate Correlation Function)的定义分别为：
?ss(n0,a)?[s(k)s(k?n0)e*?j2??k1N]? ?lim?s(k)s*(k?n0)e?j2??k (3.8.3)
N??Nk?11N]??lim?s(k)s(k?n0)e?j2??k (3.8.4)
N??Nk?1?ss*(n0,a)?[s(k)s(k?n0)e?j2??k式中，[?]?表示无限长序列的时间平均，n0表示时延，?表示频偏。如果一个信号的周期平德相关函数或周期共扼平稳相关函数在产生时延n0和频偏?时非零，则此信号即被称为周期平稳信号，?也称为周期频率。CAB类盲自适应波束形成算法主要基于阵列接收数据向量的周期平稳相关矩阵和周期共扼平稳相关矩阵。
对于阵列接收信号矢量x(k)，相应地周期平稳相关矩阵和周期共轭平稳相关矩阵分别为：
?ss(n0,a)?[x(k)x(k?n0)eTH?j2??k1N]??lim?x(k)xH(k?n0)e?j2??k (3.8.5)
N??Nk?11N]??lim?x(k)xT(k?n0)e?j2??k (3.8.6)
N??Nk?1?ss*(n0,a)?[x(k)x(k?n0)e这两个函数可统一定义为：
?j2??kj2??k???XX(n0,a),当u(k)?x(k?n0)eRxu?? (3.8.7) *j2??k???XX*(n0,a),当u(k)?x(k?n0)e实际计算过程中均采用有限采样长度N个样本点的时间平均：
?(n,a)??x(k)xH(k?n)e?j2??k???0??N?XX0? (3.8.8) Rxu??Tj2??k????XX*(n0,a)???x(k)x(k?n0)e?N?
3.8.2 CAB类盲波束形成算法
在3.8 .1节阵列模型基础上进一步假设期望信号只有一个，且对于给定的n0,期望信号的周期频率不同于干扰信号的周期频率，也即是说期望信号与干扰信号不相关，这是CAB类算法有效性的基础[44]。 3.8.2.1 CAB算法
阵列接收数据矢量x(k)及其时频移位矢量u(k)分别包含着信号分盘s(k)和
s(k?n0)ej2??k，它们在信号周期频率?处有极高的相关值。这样，如果我们能够
?(k)?cH(k)，就必然会存在w和c使得v?(k)和s?(k)在信号周期频率形成标量信号v?处相应地也有极高的相关值。只要正确地选择了w和c，我们也就获得了期望
?(k)，这就是CAB算法的基本原理。 信号的估计s CAB算法问题可描述[44]如下：
???(n,a) ，约束条件为wwH?ccH?1 (3.8.9) max?sv0w,c2由于，
???(n,a)?max?wHx(k)uH(k)c? max?sv0?Nw,cw,c?22?xuc? ?max?wR?w,c?H2HH???maxwRxuccRxuw
Hw,c所以，CAB算法问题可重新写为：
?xuccHR?xuw ，约束条件为wwH?ccH?1 (3.8.10) maxwHRw,cH使用拉各朗日乘子算法，可以解得：
HH??R?ccRxuxuw??w? ?H (3.8.11)
H'????RxuwwRxuc??c上式可进一步简化为：
?R?xuR?Hxuw??w? 其中，?为一个正的常数 ?H????RxuRxuc??c?xu最大奇异值相对应的左右奇异向量，并且将w最佳 w和c分别是与矩阵R标记为wCAB，当N??时，wCAB?d(?s)，也即是说wCAB是期望信号方向矢量估
?(?) 计值ds从上述推导过程可以看出，期望信号方向矢量的估计，是在阵列流形完全未知的情况下根据阵列接收数据利用信号的周期平稳性得到的，可以直接用来进行空域匹配滤波处理，完全避免了阵列校正，充分体现了算法的盲特性。 3.8.2.2 C-CAB算法
基本CAB算法实际上仅仅估计出了期望信号方向矢量，可以直接用来进行空域匹配滤波处理，但为了达到最佳阵处理，还需要对干扰进行有效抑制。C -CAB算法即是在CAB算法的基础上采用MVDR算法来抑制干扰的，首先将CAB算法
?(?)，在此基础之上应用MVDR 所得到的wCAB做为期望信号的DOA估计ds算法：
?xxw，约束条件为wHw?1 (3.8.12) minwHRCABw利用拉各朗日乘子法，解得：
1??wCCAB?RxxwCAB (3.8.13)
C-CAB算法虽然利用MVDR算法有效地抑制了强干扰，但是同时也引入了MVDR算法对阵列流行误差较为敏感的缺点，鲁棒性变差，还需要采用鲁棒性方法来改进性能。 3.8.2.3 R-CAB算法
在C-CAB算法的基础上采用传统的对角线加载技术来改善与提高算法的稳健性，就是所谓的R-CAB算法，其最佳权矢量为：
?in??I)?1w (3.8.14) wRCAB?(RCAB式中，?为传统对角线加载系数，Rin为干扰加噪声的自相关矩阵，可估计如下：
?in?R?xx?R?s (3.8.15) R对单个期望信号的情况，有：
?in?R?xx??2d?(?)d?H(?) (3.8.16) Rsss式中，?s2为期望信号的方差。
3.8.3 基于WCPO准则的鲁棒性CAB盲波束形成算法
3.8.3.1 WCPO-CAB算法
由3.8.14式可以看出，R-CAB算法中采用的传统对角线加载技术只改善了由
?in估计值误差所导致的波束形成器性能恶化，而并未改善由阵列方向矢量估计 R
?(?)?w所引起的性能衰减。而当采样点数N较小时，由阵列方向矢量估计值asCAB误差所引起的波束形成器性能恶化不能忽视，因此有必要采取新的鲁棒性方法来进一步改善R-CAB算法的性能与稳健性。这是本文的第二个创新点所在。
将基于WCPO准则的鲁棒自适应波束形成问题表述为：
minwH(Rxx??I)?1w约束条件wH(Rs??I)w?1
w该问题的解为：
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