波束形成-张小飞(2)

匹配滤波在白噪声背景下是最佳的，如果存在干扰信号就要令作考虑。下面考虑更复杂情况下的波束形成。

令空间远场有一个我们感兴趣的信号d(t（或称期望喜好，)其波达方向为?d）和J个我们不感兴趣的信号ij(t),j?1,?,J（或称干扰信号，其波达方向为?ij）。

2令每个阵元上的加性白噪声为nk(t)，他们都具有相同的方差?n。在这些假设条

件下，第k个阵元上的接收信号可以表示为

xk(t)?ak(?d)d(t)??ak(?ij)ij(t)?nk(t) （3.2.8）

j?1J式中等式右边的三项分别表示信号、干扰和噪声。 若用矩阵形式表示式（3.2.9），则有

?d(t)??n1(t)??x1(t)??i(t)??n(t)??x(t)?2???[a(?),a(?),?,a(?)]?2???2? (3.2.9)

di1iJ???????????????i(t)x(t)n(t)?M??J??M?或简记作

x(t)?As(t)?n(t)?a(?d)d(t)??a(?ij)ij(t)?n(t) (3.2.10)

j?1J式中a(?k)?[a1(?k),?,aM(?k)]T表示来自波达方向?k(k?d,i1,i2,?)的发射信源的方向向量。N个快拍的波束形成器输出y(t)?wHx(t)(t?1,?,N)的平均功率为

21N1NH2P(w)??y(t)??wx(t) (3.2.11a)

Nt?1Nt?1JN22?1N1?1N222H?wa(?d)d(t)????ij(t)?wa(?ij)?w?n(t) ?Nt?1Nj?1?Nt?1t?1?H2(3.2.11b)

*这里忽略了不同用户之间的相互作用项即交叉项ij(t)ik(t)。

当N??时，式（3.2.12a）可写为

P(w)?E{y(t)}?wHEx(t)xH(t)w?wHRw (3.2.12)

2??式中R?Ex(t)xH(t)为阵列输出的协方差矩阵。

??另一方面，当N??时，式（3.2.12b）可表示为

P(w)?Ed(t)?2?wH2a(?d)??Eij(t)wHa(?ij)??nw (3.2.13)

j?12J??222在获得上式的过程中，使用了各加性噪声具有相同的方差?n这一假设。

表示波束形成器的期望输出功率的式（3.2.13）的两种形式是非常有用的。为了保证来自方向?d期望信号的正确接收，并完全抑制其他J个干扰，我们很容易根据式（3.2.13）得到关于权向量的约束条件：

wHa(?d)?1 (3.2.14a)

wHa(?ij)?0 (3.2.14b)

约束条件（3.2.14）习惯称为波束―置零条件‖，因为它强迫接收阵列波束方向图的―零点‖指向所有J个干扰信号。在以上两个约束条件下，式（3.2.13）简化为

P(w)?Ed(t)?2???2nw

2从提高信干噪比的角度来看，以上的干扰置零并不是最佳的：虽然选定的权值可使干扰输出为零，但可能使噪声输出加大。因此，抑制干扰和噪声应一同考虑。这样一来，波束形成器最佳权向量的确定现在可以叙述为：在约束条件（3.2.14）的约束下，求满足

minEy(t)w?2?w? (3.2.15) ??min?wRHw的权向量w。这个问题很容易用Lagrange乘子法求解。令目标函数为：

?w??wHa(?)?1 (3.2.16) L(w)?wHRd根据线性代数的有关知识，标量函数f(w)对复向量w?[w0,w1,?,wM?1]T的偏导数定义为

???f(w)??a?0???f(w)??????w??f(w)???aM?1??????f(w)??b?0??j??? (3.2.17) ??f(w)???bM?1?????利用这一定义，可以得到

?(wHAw)?2Aw (3.2.18a) ?w?(wHc)?c (3.2.18b) ?w由式（3.2.16）和（3.2.18）易知?L(w)?w?0的结果为 2Rw??a(?d)?0，直接得到的接收来自方向?d的期望信号d(t)的波束形成器的最佳权向量为

wopt??R?1a(?d) (3.2.19a)

式中,?为一比例常数；?d是我们来自方向?d期望接收的信号的波达方向。这样，我们就可以决定J+1个发射信号的波束形成的最佳权向量，此时，波束形成器将只接收来自方向?d的信号，并拒绝所有来自其他波达方向的信号。

注意到约束条件wHa(?d)?1也可等价写作aH(?d)w?1。式（3.2.19a）两边同乘aH(?d)，并与等价的约束条件比较，立即知式（3.2.19a）中的常数?应满足

??1 (3.2.19b) H?1a(?d)Ra(?d)从上面介绍的阵列处理的基本问题可以看出，空域处理和时域处理的任务截然不同，传统的时域处理主要提取信号的包络信息，作为载体的载波在完成传输任务后，不再有用；而传统的空域处理则为了区别波达方向，主要利用载波在不同阵元间的相位差，包络反而不起作用，并利用窄带信号的复包络在各阵元的延迟可忽略不计这一特点以简化计算。

如式（3.2.19）所示，波束形成器的最佳权向量w取决于阵列方向向量a(?k)，而在移动通信里用户的方向向量一般是未知的，需要估计（称为波达方向估计）。因此，我们在使用式（3.2.19）计算波束形成的最佳权向量之前，必须在已知阵列几何结构的前提下先估计期望信号的波达方向。

3.2.3 Capon波束形成器

Capon于1969年提出的最小方差法式针对常规波束形成法的一种修正。它用一个可调节的加权向量代替了常规波束法中的固定的加权向量。因为常规波束形成器中在期望方向上的输出，既包含了期望方向上的空间信号的激励也包含了其他方向的空间信号激励。为了减少阵列对非期望方向上激励的响应，可构造一

个约束的最优化条件。这一最优化问题的准则就是：在保证期望方向上阵列的增益为一常数的前提下，使阵列的输出功率达到最小。Capon波束形成器也称最小方差无畸变响应波束形成器，它试图使噪声以及来自非?方向的任何干扰所贡献的功率为最小，但又能够保持在观测方向?上的信号功率不变。

根据式（3.2.8），此带有约束条件的最优化问题可表述为：

minP?WHRW （3.2.20）

W约束条件

WHa(?)?1 （3.2.21）

利用拉格朗日法来求解式（3.2.10）和（3.2.11）的带约束条件的最优化问题，为此构造一个代价函数：

H(W)?P??(1?WHa) （3.2.22）

其中?为任意常数，式（3.2.15）对W求微分，并令其为零，则可求得最佳权向量。

WoptR?1a(?) （3.2.23） ?H?1a(?)Ra(?)相应的阵列输出的方位角功率谱为

PCAP(?)?1 （3.2.24）

aH(?)R?1a(?)最小方差估计器给出的方位分辨率较常规波束的要好，这是因为

HH?1???a(?)Ra(?)a(?)Ra(?)??????1

则有：PCBF(?)?PCAP(?)

另外，最小方差估计器的方位谱直接对应了阵列接受端的噪声功率，所以谱峰的高度表示了这些方位上的信号功率估计。

最后还要指出：从式(3.2.14)可知，最小方差估计器的方向谱是通过扫描向量a(?)在观测空间中对采样协方差矩阵R的逆矩阵做扫描才得到的。如果空间信号强相关或相关，那么协方差矩阵可能出现病态甚至降秩。因此这种方法无法解相干源，而且相对而言，最小方差法的计算量也比较大。

Capon波束形成器比常规波束形成器性能更好的主要原因是：前者使用每一个可利用的自由度，使得接收能量聚集在一个方向上。

3.2.4 波束形成的准则

由于传统的常规波束形成法分辨率较低，这促使人民开始对高分辨技术的探索，自适应波束形成算法很快就成了研究热点，并在近半个世纪的时间里历久不息。

自适应波束形成亦称ADBF，它在某种最优准则下通过自适应算法来实现权集寻优的，自适应波束形成能适应各种环境的变化，实时地将权集调整到最佳位置附近。

最优权向量准则

实时高效的波束形成算法时自适应天线技术的关键，波束形成算法时在一定准则下综合各输入信息来计算最优权值的数学方法。

这些准则中最重要最常用的有： *最大信号噪声比准则（MSNR）

使期望信号分量功率与噪声分量功率之比为最大。但是必须知道噪声的统计量和期望信号的波大方向。

*最大信干噪比准则（MSINR）

使期望信号分量功率与干扰分量功率及噪声分量功率之和的比为最大。 *最小均方误差准则（MMSE）

在非雷达应用中，阵列协方差矩阵中通常都含有期望信号，基于此种情况提出的准则。使阵列输出与某期望响应的均方误差为最小，这种准则不需要知道期望信号的波达方向。

*最大似然比准则（MLH）

在对有用信号完全先验无知的情况，这时参考信号无法设置，因此，在干扰噪声背景下，首先要取得对有用信号的最大似然估计。

*线性约束最小方差准则（LCMV）

对有用信号形式和来相完全已知，在某种约束条件下使阵列输出的方差最小。前面提到的Capon波束形成器就是基于这种准则。WHa(?)?1就是它的约束条件。

可以证明，在理想情况下这几种准则得到的权是等价的。并可写成通式

?1Wopt?RHa(?d) （3.2.25）

通常称（3.2.25）为维纳解。其中，a(?d)是无干扰的方向函数，亦称约束导

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