波束形成-张小飞(10)

2??2?r2????j2?rsin?cos?j2?rsin?cos?jsin?cos???(M?1)???????M??M????aUCA(?)??e,e,?,e? (3.6.12)

????T式中：r为圆阵的半径。

根据式(3.6.7),均匀圆阵的阵列协方差矩阵的第n行m列元素为

(RUCA)n,m3)

~1?2??2?0?2?r?n?1?m?1?????exp?jsin?[cos??2??cos??2??]??d?(3.6.1?????MM????????贝塞尔函数的值可以通过数值积分获查表求得，在得到阵列协方差阵RULA~后，根据式(3.6.8)就可以求得权系数的优化解。

以下分别为均匀线阵阵元数为4，6，8，16情况下的toeplitz矩阵。

?1.0000?-0.3042R4???0.2203??-0.1812?1.0000?-0.3042??0.2203R6???-0.1812?0.1575???-0.1412-0.30421.0000-0.30420.22030.2203-0.30421.0000-0.3042-0.30420.22031.0000-0.3042-0.30421.00000.2203-0.3042-0.18120.22030.1575-0.1812-0.1812?0.2203??

?-0.3042?1.0000?-0.18120.15750.2203-0.1812-0.30420.22031.0000-0.3042-0.30421.00000.2203-0.30420.1575-0.18120.2203-0.30421.0000-0.30420.2203-0.1812-0.1412?0.1575???-0.1812?

0.2203??-0.3042?1.0000???1.0000?-0.3042??0.2203?-0.1812R8???0.1575??-0.1412?0.1291???-0.1196

-0.30421.0000-0.30420.2203-0.18120.1575-0.14120.12910.2203-0.30421.0000-0.30420.2203-0.18120.1575-0.1412-0.18120.2203-0.30421.0000-0.30420.2203-0.18120.1575-0.14120.1575-0.18120.2203-0.30421.0000-0.30420.22030.1291-0.14120.1575-0.18120.2203-0.30421.0000-0.3042-0.1196?0.1291???-0.1412?0.1575??-0.1812?0.2203??-0.3042?1.0000??R16?TOEP[1.0000 -0.3042 0.2203 -0.1812 0.1575 -0.1412 0.1291 -0.1196 0.1120 -0.1056 0.1003 -0.0956 16.4842 -15.8417 0.0848 -0.0820]

以下是均匀圆阵阵元数为8情况下的toeplitz矩阵

?1.0000?0.0000??0.1111?0.0087R8??0.0485??0.0087?0.1111???0.0000

0.00001.00000.00000.11110.00870.04850.00870.11110.11110.00001.00000.00000.11110.00870.04850.00870.00870.11110.00001.00000.00000.11110.00870.04850.04850.00870.11110.00001.00000.00000.11110.00870.00870.04850.00870.11110.00001.00000.00000.11110.11110.00870.04850.00870.11110.00001.00000.00000.0000??0.1111??0.0087?0.0485?

?0.0087?0.1111??0.0000?1.0000??AMV方法明显优于传统的LCMV方法，旁瓣较低，到达角误差很小，波束形成能力好， 传统的LCMV方法的波束形成接近失效，无实际意义，传统的LCMV方法不适合信源数都大于阵元数的过载情况。而此过载情况下，AMV方法始终具有较好的波束形成能力，对阵元数有鲁棒性，是一种性能优越的波束形成算法。

在信噪比较高的情况下，传统LCMV方法的波束形成方向图失真，副瓣抑制能力差，而AMV方法的波束形成方向图仍然具有很好的保形性，克服了高信噪比的情况下传统LCMV方法对噪声的敏感问题，性能优于前者。在低信噪比情况下，AMV方法和传统LCMV方法的波束形成方向图性能相近，即AMV方法近似于LCMV方法。由此可见，AMV方法对信噪比有鲁棒性，而LCMV方法比较适用于小信噪比的情况。

AMV方法对信噪比具有鲁棒性，其算法只与阵列天线结构有关，与入射信号数量等无关，这极大简化了算法的计算过程。

3.7 基于高阶累积量的波束形成算法

LCMV自适应波束形成算法虽然具有诸多优点，应用也越来越广，但LCMV算法本身却存在一个无法克服的局限性，这就是LCMV算法的应用前提是必须要知道期望信号波达方向以及阵列流形的先验知识，而实际应用过程中很多时候我们并不知道期望信号的入射方向，对阵列流形也无法精确掌握，所以人们提出了盲波束形成算法来克服这些困难。所谓盲波束形成是指在波束形成过程中，无需知道阵列流形和期望信号波达方向等先验知识。这是本文最后两章的研究重点。

高阶累积量包含有丰富的信息，并且能有效抑制高斯嗓声提取有用的非高斯信号，近年来对基于高阶累积量的阵列信号处理算法的研究相当活跃，并广泛应用于雷达、声呐、地球物理、医学、通讯等诸多领域。基于高阶累积量的盲波束

形成算法[26]首先利用高阶累积量能有效提取非高斯信号的特性估计出期望信号的方向矢量，而后在此基础上再进行LCMV自适应最佳波束形成。不可否认，利用高阶累积量估计出的期望信号方向矢量必然与真实期望信号的方向矢量存在估计误差，而通过前面两章的研究我们知道自适应波束形成算法对阵列处理过程中出现的些许差错极端敏感，所以为克服期望信号方向矢量估计误差对盲波束形成器性能的影响，需要采用鲁棒性方法来提高性能。

3.7.1 高阶累积量的定义与性质

高阶统计量可以定义为一个目标函数的泰勒序列展开式的系数，高阶矩是其联合特征函数的原点斜率。高阶谱常常是建立在高阶累积量基础之上，又称作累积量谱。高阶累积量有如下优点：高阶累积量对高斯过程呈现盲特性，能够最大限度地抑制高斯白噪声，这样在处理过程中，可利用高阶累积量提取非高斯成分而滤除其中的高斯成分；高阶累积量具有良好的数学性质，比如可加性、分离性、正交性等，因此可以在算法推导过程中将累积量运算作为一个算子，从而简化算法设计；高阶累积量具有过程相位可检测性，可揭示过程的非线性特性，从而在系统辨识、参数估计中有特殊应用价值；此外，基于高阶累积量的阵列处理算法可以对阵列进行虚拟扩展，实现对更多信号源的分辨。

设?x1,x2,?,xn?为零均值实随机变量的集合，其二阶、三阶和四阶累积量可分别记为：

cum(x1,x2)?E{x1x2} cum(x1,x2,x3)?E{x1x2x3}

cum(x1,x2,x3,x4)?E{x1x2x3x4}?E{x1x2}E{x3x4}

?E{x1x3}E{x2x4}?E{x1x4}E{x2x3} (3.7.1)

高阶累积量具有如下性质：

性质1：如果{?i}in?1为常数，{xi}in?1为随机变量，则有：

?n?cum(?1x1,?2x2,?,?nxn)????i?cum(x1,x2,?,xn) (3.7.2)

?i?1?性质2：可加性

cum(x1?y1,x2,?,xn)?cum(x1,x2,?,xn)?cum(y1,x2,?,xn) (3.7.3)

性质3：如果随机变量{xi}in?1与随机变量{yi}in?1相独立，则有：

cum(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn)?cum(x1,x2,?,xn)?cum(y1,y2,?,yn) (3.7.4) 性质4：高斯变量消除特性，如随机变量{zi}in?1为高斯随机变量且独立于非高斯随机变量{xi}in?1，则有：

cum(x1?z1,x2?z2,?,xn?zn)?cum(x1,x2,?,xn) (3.7.5)

性质5：如C为任意常数，则：

cum(x1?C,x2,?,xn)?cum(x1,x2,?,xn) (3.7.6)

性质6：如{xi}in?1为任意随机矢量，由其元素构成互不相交的子集，且彼此统计独立，则有：

cum(x1,x2,?,xn)?0 (3.7.7)

在简要介绍完高阶累积量及其性质之后，下面我们推导基于高阶累计量的盲波束形成算法。

3.7.2 基于高阶累积量的盲波束形成算法

3.7.2.1 阵列模型

考虑一M个阵元的阵列，它具有任意的阵列流形，且假设期望信号s(k)为非高斯信号，波达方向为?s，功率为时?s2，另有G个高斯干扰信号ig(k)，

g?1,2,?,G，波达方向分别为?ig，且期望信号与干扰信号之间相互独立，阵元

2上的噪声为加性高斯白噪声，均值为零，方差为?n。则阵列第m个阵元上第k次

快拍的采样值为：

xm(k)?am(?s)s(k)??am(?ig)ig(k)?nm(k) (3.7.8)

g?1G写为矩阵形式，则为：

?x1(k)??s(k)??n1(k)??x(k)??i(k)??n(k)?2????a(?),a(?),a(?,?,a(?)??1? (3.7.9) ???2si1i2iG???????????????i(k)x(k)n(k)?M??M??M?将阵列接收数据写为向量形式为：

x(k)?a(?s)s(k)?Aii(k)?n(k) (3.7.10)

3.7.2.2 利用高阶累积量方法估计期望信号的方向矢量

参考上节阵列模型，阵列接收数据向量的四阶累积量为：

**C4m?cum{x1(k),x1(k),x1,xm(k)}, m?1,2,?,M (3.7.11)

由于期望信号为非高斯信号，干扰和噪声均为高斯信号，所以由高阶累积量的性质，可得：

C4m?cum{a1(?s)s(k),a1H(?s)sH(k),a1H(?s)sH(k),am(?s)s(k)}

?|a1(?s)|2a1H(?s)r4,dam(?s)??am(?s)

上式中，r4,d为期望信号的四阶累积量，而??|a1(?s)|2a1H(?s)r4,d。令

C4?[C41,C42,?,C4M]T， 则有：

C4??a(?s) (3.7.12)

上式表明，C4是期望信号方向矢量的一种复制形式，二者只相差一标量因子?，因此可以将C4看作是期望信号方向矢量的估计值。利用高阶累积量方法根据阵列接收数据估计出期望信号的方向矢量之后，便可以应用LCMV算法来进行自适应波束形成了。

3.7.2.3 基于高阶累积量的盲波束形成

由于C4是期望信号方向矢量的估计值，因此将C4进行盲波束形成，求得最佳矢量：

??1?2CCH} (3.7.13) wcum??{Rs44

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