第一章 解三角形(9)

新课标必修5

则c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75， 当a＝5时，c最小，且c＝75＝53， 此时a＋b＋c＝5＋5＋5＝10＋5， ∴ △ABC周长的最小值为10＋53． 15．13．

解析：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6，可得a∶b∶c＝2∶5∶6，于是可设a＝2k，b＝5k，c＝6k(k＞0)，由余弦定理可得

a2＋b2－c24k2＋36k2－25k25

cos B＝＝＝，

82ab2(2k)(6k)

∴ sin B＝－cos2B＝由面积公式S△ABC＝

． 8

1

ac sin B，得 2

31

·(2k)·(6k)·＝，

842

∴ k＝1，△ABC的周长为2k＋5k＋6k＝13k＝13． 本题也可由三角形面积(海伦公式)得33923k＝，∴ k＝1． 44

33913131313， (2k)(5k)(6k)＝42222

即

∴ a＋b＋c＝13k＝13． 16．6∶5∶4．

解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用． 由正弦定理得

asinAsin2Ca

＝＝＝2cos C，即cos C＝， csinC2csinC

a2＋b2－c2(a＋c)(a－c)＋b2

由余弦定理cos C＝＝．

2ab2ab

∵ a＋c＝2b，

a＋ca＋c2b(a－c)＋b2(a－c)＋

2＝， ∴ cos C＝

2a2ab

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