高三数学单元测试卷（18套）答案(5)

若a1?0,d?6,则an?6(n?1),由S3?18,(S3)2?324,Sn?216知 s9?(S3)2,故所得数列不符合题意． 当a1?1时,代入(2)得4?6d?(2?d)2,解得d?0或d?2

若a1?1,d?0,则an?1,Sn?n,从而Sk2?(Sk)2成立;

若a1?1,d?2,则an?2n?1,Sn?1?3???(2n?1)?n2,从而S?(Sn)2成立．

综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{an} : an＝0，即0，0，0，?； ②{an} : an＝1，即1，1，1，?； ③{an} : an＝2n－1，即1，3，5，?，

数形结合思想参考答案

一、选择题

题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 C 9 B 10 C 二、填空题11．5 12．(－2,0)∪(2,5] 13．1995,2000_ 14．0

15 15．①③ 37????1??x)?(x?)???f(x)?sin(x?)cos(x?)?sin(2x?)??8888241??1?g(x)?sin[2(x?)?]?sin2x?6分

28423?5?x?(，)时是增函数?sinx（II）证明一：依题意，只需证明函数g(x)当2在442k???2?2x?2k?????2即k??4?x?k??4(k?Z)的每一个区间上是增函数??9分

445?3?5?当k?1时，g(x)?sin2x在(3?，)是增函数??10分,则当x?(，)时，经过函数g(x)图像上

44任意两点的直线的斜率恒大于零?12分

证明二：设函数g(x)图像上任意两点

x1?x2，KAB?sin2x1?sin2x22cos(x1?x2)sin(x1?x2)?x1?x2x1?x2A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1，x2?(3?5?，)44不妨设

x1，x2?(3?5?3?5??，)，x1?x2?(，)，x1?x2?(?，0)?1144222分cos(x?x)?0，sin(x?x)?0，x?x121212?0，KAB?0

5?则当x?(3?，)时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零.

4417. 证明 ∵M是BC的中点，连结OM， ∴OM=1(OB+OC).同理由N是AC的中点，得ON=12?????????????????2（OA+OC）.

∵PM=PO+OM=1（AO+OB+OC）=1（OB－OA+OC）=1（AB+OC），QN=QO+ON=1222??????????????????????????????????????????????????????????????????2（BO+OA+OC）

=1（OA－OB+OC）=1（BA+OC）=1（OC－AB）.∴PM2QN=1（OC+AB）21（OC22222?????????????????????????????????????????????????????????????－AB）=1（OC－AB）.

2???????????????22∵|AB|=|OC|，∴PM2QN=0，即PM?QN.

18.解：（I）由表中数据知（1）鲸沿海岸线方向运行的速度为

（2）a、b满足的关系式为b?a110?????????????????（km/分钟）。

.鲸的运动路线图为

? ? B

A y （II）以点A为坐标原点，海岸线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，设鲸所在的位置为点P（x，y），由（I）知y?x. 又B（15，0），依题意知，观测站B的观测区域为

A (x?15)?y?25(y?0)22B x ，又y?x，∴(x?15)2?x?25，即x2?29x?200?0.

110 ∴11.3?x?17.7.故鲸从A点进入前方观测站B所用的时间为11.3?113分钟. 答：鲸大约经过113分钟进入B站的观测范围. 19. 解：（I）

???????????????????AM?2AP,NP?AM?0. ∴

NP为

AM的垂直平分线，∴|

NA|=|

NM|.又

?|CN|?|NM|?22,?|CN|?|AN|?22?2.

C(?1,0),A(1,0)∴动点

N的轨迹是以点为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为

2a?22,焦距

2c?2.?a?2,c?1,b2?1.

∴曲线E的方程为x22?y2?1.

（II）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为

y?kx?2,代入椭圆方程x2得?2y?1,21(?k2)x2?4kx?3?0.23由??0得k2?.

2设

G(x1,y1),H(x2,y2),则x1?x2???????????4k32又?FG??FH?(x1,y1?2)??(x2,y2?2)?x1??x2?x1?x2?(1??)x2,x1x2??x2.,x1x2?1122?k?k22

(∴

1(x1?x22xx2)?x2?121???161.解得???3 33∴

?4k23)11?k2?k216(1??)222?,整理得?1(1??)2??3(2?1)2k∵

k2?32∴

4?1616?3?332k2∴

4?????2?1又?0???1,????1又当直线

3GH斜率不存在，方程为x?0,FG?1FH,??1.?1???1,即所求?的取值范围是[1,1)

3333?????????20．解：(1)由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, ∴f1(x)= x2. 设f2(x)=

k(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为 x A(k,k)B(－k,－k)

88.故f(x)=x2+.????????????6分 xx88 (2) 【证法一】f(x)=f(a),得x2+=a2+,

xa88 即=－x2+a2+.

xa8 在同一坐标系内作出f2(x)=和

x8f3(x)= －x2+a2+

a 由AB=8,得k=8,. ∴f2(x)=

的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a2+

8)为顶点,开口向下的抛物线. a 因此, f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点, 即f(x)=f(a)有一个负数解.

8 a8 当a>3时,. f3(2)－f2(2)= a2+－8>0,

a 又∵f2(2)=4, f3(2)= －4+a2+

∴当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f2(x)图象的上方. ∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解. 因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解. ????????????14分

【证法二】由f(x)=f(a),得x2+ 即(x－a)(x+a－ 方程x+a－

828=a+, xa8)=0,得方程的一个解x1=a. ax8=0化为ax2+a2x－8=0, ax 由a>3,△=a4+32a>0,得

?a2?a4?32a?a2?a4?32a x2=, x3=,

2a2a ∵x2<0, x3>0, ∴x1≠ x2,且x2≠ x3.

?a2?a4?32a 若x1= x3,即a=,则3a2=a4?32a, a4=4a,

2a 得a=0或a=34,这与a>3矛盾, ∴x1≠ x3.

故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.????????????14分

?，由于所有的an都21. 解：（1）f(x)的定义域是{S0}?(S0，S1]?(S1，S2]???(Sn?1，Sn]??是正数，故Sn是单调递增的．

a1aa2limS??? ∵n??n1?q1?1a?1 ∴

aa2] f(x)的定义域是[0，a?1y P1 ? P 2 ?（Ⅱ）∵

kP1Pi?1?f(Si?1)?f(S1)a?ai?i?1?1?aai?1Si?1?SiP? 3 （i?1，2，?）与i无关． O 11? ? ? S1 S2 S3 x 2∴ 所有的P，P，P?共线，该直线过点P(a,a)，斜率为1?a∴A?1a．

1232 当n≥2时，A是一个三角形与一个梯形面积之和（如上图所示）．梯形面积是

n

1[f(S1)?f(Sn)](Sn?S1)21a(?1n)a2n?2?111a?a]?2n?4?(a?n?2)[12a(a?1)2a1?a.于是

An?a2an?2?12?2n?422a(a?1) 故

limAn?n??a2a2a3??22(a?1)2(a?1)

?1?a??1即a （Ⅲ）解法一：结合图像，易见k＜2时，limAn??P1P2≥2时，a≥limA2n??n?An，而kP1P2?1?a??1，即an11?a2?a2?a2 22 故当1＜a＜2时，存在正整数n，使得A

n?a2

解法二：假设存在正整数n，使得

An?a2，则应有

1a2a2n?2?1a2n?2(a?2?2n?2)2?2n?4?a?0?a?02n?422a(a?1)2a(a?1)a21?(a?2?2n?2)?02(a?1)a

?a2 ∵ 立.

a?1∴

a211?0?a?2?2n?2?0?a?2n?2?22(a?1)aa∴1＜a＜2时，存在正整数n，使得An成

分类与整合思想参考答案

一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 D 5 A 6 A 7 C 8 C 9 C 10 C 1．分析：研究函数的最值需考察函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a的取值有关，故应对a进行分类讨论。

解：⑴当a>1时，f(x)在[2，π]上是增函数，最大值是f(π)，最小值是f(2)，据题意，f(π)π

－f(2)＝1，即logaπ－loga2＝1，∴a＝，

2

⑵当0

即loga2－logaπ＝1，∴a＝。

π

由⑴⑵知，选C。

说明：题中字母a的取值范围的不同，直接影响了函数的性质，从而导致了两种不同的情形，所以必须对字母a进行分类讨论。

c

2．分析：椭圆的离心率e＝，题中不能确定5与m中哪个是a，哪个是b，故应将5与

a

m比，分类讨论。

解：据题意m>0且m≠5

⑴当m>5时，a2＝m， b2＝5，∴c2＝a2－b2＝m－5，∴c2/a2＝(m－5)／m， 又e＝25∴m＝

3

⑵当

在运用分类讨论思想解决含参数字母的问题时，要克服动辄加以分类讨论的思维定势，应充分挖掘问题的特征，多角度审视参数，变更或变换命题，简化分类讨论，甚至避免分类讨论。

8．析与解：常规思路是分a>1与0

10 5

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