高三数学单元测试卷（18套）答案(2)

14．设x＝a＋b＋c，则b＋c－a＝xq，c＋a－b＝xq2，a＋b－c＝xq3，∴xq＋xq2＋xq3＝x(x≠0) ∴q3＋q2＋q＝1． 15．nC1C2C3?Cn

三、解答题（共80分）

－

16．⑴由题意得（a1＋d）(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d>0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝3n1． ⑵当n＝1时，c1＝3 当n≥2时，∵

cn?3(n?1) 故cn?2?3n?1 ?an?1?an,∴cn??n?1bn?2?3(n?2)?c1?c2???c2004?3?2?3?2?32???2?32003?32004

17．⑴∵f(x＋1)＝(x＋1－1)2－4，∴f(x)＝(x－1)2－4

∴a1＝f(x－1)＝(x－2)2－4，a3＝(x－1)2－4． 又a1＋a3＝2a2，∴x＝0，或x＝3．

33

（2）由（1）知a1，a2，a3分别是0，－ ，－3或－3，－ ，0．

22

33∴an??(n?1)或an?(n?3)

223（3）当an??(n?1)时，

29933351 (a2?a26)?[???(26?1)]??2222239939297 当an?(n?3)时，a2?a5?a8???a26?(a2?a26)?(???39)?.

222222a2?a5?a8???a26?

18．（1）∵an>0，2Sn?an?1，∴4Sn?(an?1)2,4Sn?1?(an?1?1)2，则当n≥2时，

22即(an?an?1)(an?an?1?2)?0，而an>0，∴an?an?1?2(n?2) 4an?an?2an?an?1?2an?1,又2S1?a1?1,?a1?1,则an?2n?1 （2）bn?1111111?(?),?Tn?(1?)?

(2n?1)(2n?1)22n?12n?122n?1219．（1）令x＝y＝0，则f(0)＝0，再令x＝0，得f(0)－f(y)＝f(－y)，

∴f(－y)＝－f(y)，y∈(－1，1)，∴f(x)在（－1，1）上为奇函数． （2）?f(a1)?f()??1,由(1)知f(x)?f(y)?f(12x?y), 1?xy

2anan?anf(an?1)，即?f(an?1)?f()?f()?f(a)?f(a)?2f(a)?2 nnn21?an1?an?anf(an) ∴{f(an)}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f(an)＝－2n1．

－

1n11112（3）?bn??(1??2???n?1)????2?n?1． 122221?21?若bn?1m4m?8恒成立（n∈N＋），则?2?n?1??2，即m?n?1.

24244有最大值4，故m>4．又∵m∈N，∴存在m＝5，使得

∵n∈N＋，∴当n＝1时，

2n?1m?8对任意n∈N＋，有bn?．

420． (2005年湖南高考题20题) 解：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为

22cxn,因此xn?1?xn?axn?bxn?cxn,n?N*.(*)即xn?1?xn(a?b?1?cxn),n?N*.(**)

（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得 xn(a?b?cxn)恒等于0,n?N*,所以a?b?cx1?0.即x1? 因为x1>0，所以a>b. 猜测：当且仅当a>b，且x1?a?b. ca?b时，每年年初鱼群的总量保持不变. c （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N* 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知

0

由此猜测b的最大允许值是1.

下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N* ①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2), 则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0.

又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1． 21．（1）x＝y＝0得f(0)＝ －1，x＝y＝－1得f(－2)＝2f(－1)＋2，而f(－2)＝ －2，∴f(－1)

＝－2，x＝1，y＝ －1得f(0)＝f(1)＋f(－1)，∴f(1)＝1

（2）x＝n，y＝1得f(n＋1)＝f(n)＋f(1)＋n＋1＝f(n)＋n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝n＋2， ∴当n∈N＋时，f(n)＝f(1)＋[3＋4＋?＋(n＋1)]＝

121(n?3n?2)则f(n)?n?(n2?n?2)，而当n∈N＋，且n>1时，n2＋n－2>0， 22∴f(n)>n，则对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t． （3）∵y＝ －x时f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＋1－x2，∴f(x)＝x2－2－f(－x)，∵当x∈N＋时由（2）知f(x)?121(x?3x?2)，当x＝0时，f(0)＝ －1＝[02?3?0?2]．适合 22当x为负整数时，－x∈N＋，则

f(?x)?1211(x?3x?2),?f(x)?x2?2?(x2?3x?2)?(x2?3x?2)222

故对一切x∈Z时，有f(x)?12(x?3x?2)， ∴当t∈Z时，由f(t)＝t得t2＋t－2＝0，2即t＝1或t＝2．满足f(t)＝t的整数t有两个．

[三角函数]通，性质大集中参考答案

一、选择题(5分310＝50分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 C 5 D 6 A 7 B 8 A 9 B 10 A 二、填空题(4分35＝20分) 342????11．－ 12．??sin1?,sin1?? 13．－2 14．2(－1)n 15．；π＋。

43322??三、解答题(共80分) 16．解：由sin( ??4?2?)?sin(?4?2?)?sin(?4?2?)?cos(?4?2?)

1?11sin(?4?)?cos4??, 22241??5?4??. 又??(,),所以??. 得 cos24212王新敞2sin??co2s??2cos2?于是 2sin??tan ??co?t?1??cos2????cos2??sin?co?ssin2?5?5?35 ??(co2s??2co2t?)??(cos?2cot)??(??23)?3.

66222

17．解： ∵ tanα是方程x2?2xsec??1?0的较小根， ∴ 方程的较大根是cotα． ∵ tanα＋cotα＝?2sec?，即 ∴ sin???12 ??sin?cos?cos?1． ?? 5分 2 解得 ??2k?? 当??2k??7??，或??2k??,k?Z． ?? 8分

6637?，ctg??3； (k?Z)时，tg??363? 当??2k??(k?Z)时，tg???，ctg???3，不合题意．

367? ∴ ??2k??,k?Z． ?? 12分

618

．

解

法

一

由

sinA(sinB?cosB)?sinC?0得

sinAsinB?sinAcosB?sin(A?B)?0.

所

以

sAsiB?siAnciBn?soAnciBs?conAsoBs?0i.sn即

sinB(sinA?cosA)?0.

因为B?(0,?),所以sinB?0，从而cosA?sinA.

?3. 从而B?C??. 443由sinB?cos2C?0得sinB?cos2(??B)?0.

4由A?(0,?),知A?即sinB?sin2B?0.亦即sinB?2sinBcosB?0. 由此得cosB?1?5???5?,B?,C?.所以A?,B?,C?. 231243123??2C). 解法二：由sinB?cos2C?0得sinB??cos2C?sin(23??3???2C或B?2C?.即B?2C?或2C?B?. 由0?B、c??，所以B?2222

由sinA(sinB?cosB)?sinC?0得 sinAsinB?sinAcosB?sin(A?B)?0. 所以sinAsinB?sinAcosB?sinAcosB?cosAsinB?0.

即sinB(sinA?cosA)?0. 由A?(0,?),知A?因为sinB?0，所以cosA?sinA.

33?.从而B?C??，知B+2C=不合要求. 4421?5???5?. 所以A?,B?,C?. 再由2C?B??，得B?,C?23124312???19．解：f(x)?cos(2k???2x)?cos(2k???2x)?23sin(?2x)

333???2cos(?2x)?23sin(?2x)

33?4cos2x

所以函数f(x)的值域为??4,4?，最小正周期T??2????。

,0)，B(0,220)，C(0,300)． 20．解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A(200直线l的方程为y?(x?200)tan?，即y?设点P的坐标为(x,y)，则P(x,x?200． 2x?200)（x?200） 2x?200?300x?8002由经过两点的直线的斜率公式kPC?，?x2xx?200?220x?6402． kPB??x2x由直线PC到直线PB的角的公式得

tanBPC?kPB?kPC1?kPBkPC16064x2x ??2x?800x?640x?288x?160?6401??2x2xyCBlxOA?P

?64（x?200）

160?640x??288x160?640?288达到最小． x要使tanBPC达到最大，只须x?由均值不等式x?160?640160?640?288?2160?640?288．当且仅当x?时上式取xx

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