的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．
?(1－m)x 19．解：（1）由f(x)<0得，|x－m| ? (1＋m)x>m ①当m＝－1时，??2x??11 ?x<－2???????????????????3分 ?0??1m?x??mm?1?m?1+m 1－m ?x?m?1?m?m?x??m?1?m?x<③当m<－1时，???????????????????7分 1－mm?x??1?m?综上所述，当m<－1时，不等式解集为{x|x< m } 1－m 1 当m＝－1时，不等式解集为{x|x<－} 2 mm 当－1 1+m1－m （2）f(x)＝ ??(1?m)x?m,x?m ??(1?m)x?m,x?m∵m<0，∴1－m>0，f(x)在[m，+∞)上单调递增，要使函数f(x)存在最小值，则f(x)在(－∞，m)上是减函数或常数，∴－(1+m)≤0即m≥－1，又m<0，∴－1≤m<0． 故f(x)存在最小值的充要条件是－1≤m<0，且f(x)min＝ f(m)＝－m2． ???14分 a2a220．解：⑴对已知二次函数应用配方法，得f(x)??b(x?)?，当x∈R时，f(x)max＝ 2b4ba2， 4ba2于是，对任意x∈R都有f(x)?1?f(x)max＝?1? a?2b．???4分 4b⑵用f(x)max、f(x)min表示f(x)在[0，1]上的最大值、最小值，则对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|?1 ?f(x)max?1,当且仅当? （*） f(x)??1,?min a2a2而 f(x)＝－b(x－)+，（x?[0，1]） 2b4baa2当2b?a时，0<，f(x)min＝f(0)或f(1)； ?1，f(x)max＝ 2b4b当2b a>1， f(x)max＝ f(1)，f(x)min＝f(0)． 2b?b?1且2b?a,?2?b?1且2b?a,a????1,于是(*)??4b 或?f(1)?a?b?1, ?f(0)?0??1.?f(0)?0??1,????f(1)?a?b??1,?b－1?a?2b或x???b－1?a?2b． 故对任意x?[0，1]，都有|f(x)|?1的充要条件是b－1?a?2b．?????9分 (３) 由(２)的解答知，对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|?1当且仅当 ?2b?a?0且0?b?1,?2?2b?a且0?b?1,a????1, 或?f(1)?a?b?1, ?4b?f(0)?0??1.?f(0)?0??1,????f(1)?a?b??1,?0 故当0 21．解：对函数f(x)求导数：f?(x)?(xlog2x)??[(1?x)log2(1?x)]? ?log2x?log2(1?x)? 11?.?log2x?log2(1?x). ln2ln2 于是f?()?0. 1211时,f?(x)?log2x?log2(1?x)?0,f(x)在区间(0,)是减函数， 2211当x?时,f?(x)?log2x?log2(1?x)?0,f(x)在区间(,1)是增函数. 2211所以f(x)在x?时取得最小值，f()??1， 22当x?（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明. （i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立. （ii）假定当n?k时命题成立，即若正数p1,p2,?,p2k满足p1?p2???p2k?1， 则p1log2p1?p2log2p2???p2klog2p2k??k. 当n?k?1时，若正数p1,p2,?,p2k?1满足p1?p2???p2k?1?1, p2kp1p2,q2?,?,q2k?. 令x?p1?p2???p2k,q1?xxx则q1,q2,?,q2k为正数，且q1?q2???q2k?1. 由归纳假定知q1log2p1?p2log2p2???q2klog2q2k??k. p1log2p1?p2log2p2???p2klog2p2k?x(q1log2q1?q2log2q2???q2klog2q2k ?log2x)?x(?k)?xlog2x, ① 同理，由p2k?1?p2k?2???p2k?1?1?x可得p2k?1log2p2k?1???p2k?1log2p2k?1 ?(1?x)(?k)?(1?x)log2(1?x). ② 综合①、②两式p1log2p1?p2log2p2???p2k?1log2p2k?1 ?[x?(1?x)](?k)?xlog2x?(1?x)log2(1?x)??(k?1). 即当n?k?1时命题也成立. 根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立. 证法二： 令函数g(x)?xlog2x?(c?x)log2(c?x)(常数c?0,x?(0,c)),那么 xxxxg(x)?c[log2?(1?)log2(1?)?log2c], ccccx1c利用（Ⅰ）知，当?(即x?)时,函数g(x)取得最小值. c22对任意x1?0,x2?0,都有 x1log2x1?x2log2x2?2?x1?x2x?x2log21 22 ?(x1?x2)[log2(x1?x2)?1]. ① 下面用数学归纳法证明结论. （i）当n=1时，由（I）知命题成立. （ii）设当n=k时命题成立，即若正数p1,p2,?,p2k满足p1?p2???p2k?1,有 p1log2p1?p2log2p2???p2klog2p2k??k. 当n?k?1时,p1,p2,?,p2k?1满足p1?p2???p2k?1?1. 令H?p1log2p1?p2log2p2???p2k?1?1log2p2k?1?1?p2k?1log2p2k?1由①得到 H?(p1?p2)[log2(p1?p2)?1]???(p2k?1?1?p2k?1)[log2(p2k?1?1?p2k?1)?1],因为(p1?p2)???(p2k?1?1?p2k?1)?1, 由归纳法假设 (p1?p2)log(?2p1 p2??)?2k?1?1p(?k?12p)l2ogp?k?1(2?1k?1p??得到)k ,2 H??k?(p1?p2???p2k?1?1?p2k?1)??(k?1). 即当n?k?1时命题也成立. 所以对一切正整数n命题成立. 直线与圆参考答案 一、选择题（每小题5分，共50分）： 题号 1 答案 C 2 B 3 C 4 C 5 A 6 A 7 A 8 B 9 A 10 A 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．36； 12． (a)?(2),(b)?(1),(c)?(3)9 ； 13． z≤－２或z≥１； 14． 2x?4y?82?0 15． 43 三、解答题（共80分，按步骤得分） 16．解：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1， 它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1。 设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。 由题设知对称圆的圆心C′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即d?|5k?5|1?k2?1． 34或k??． 4334故所求的直线方程是y?3??(x?3)，或y?3??(x?3)， 43整理得12k2?25k?12?0, 解得k??即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0． ?x?2y?400?17． 解：设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，约束条件是?2x?y?500 ?x?0,y?0,?目标函数是f?3x?2y，要求出适当的x，y，使f?3x?2y取得最大值。 作出可行域，如图。 设3x?2y?a,a是参数， y 500 3a将它变形为y??x?， 223这是斜率为?，随a变化的一族直线。 2a当直线与可行域相交且截距最大时， 2200 O （200，100） 250 400 x ?x?2y?400?x?200目标函数f取得最大值。由?得?， 2x?y?500y?100??因此，甲、乙两种产品的每月产品分别为200，100件时，可得最大 收入800千元。 18． 解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时 ，v千米/小时，再设出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇． 则P、Q两点坐标为（3vx0， 0），（0，vx0＋vy0）． 由|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2知，………………3分 （3vx0）2＋(vx0＋vy0)2＝(3vy0)2， 即(x0?y0)(5x0?4y0)?0． 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高三数学单元测试卷（18套）答案(4)在线全文阅读。
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