高三数学单元测试卷（18套）答案(10)

（3）解：设直线PQ的方程为y??得：

a(x?c),即y??2(x?c) ．代入椭圆方程消去xb(1?1y?c)2y22?2?1a2b2，整理得：

22c2c25y?22cy?2c?0,?y1?y2?,y1?y2??.

552∴

22c28c248c2143c2(y1?y2)?()??.S?PF2Q??2c?|y1?y2|??203,c2?25,

5525252x2y2??1. 因此a＝50，b＝25，所以椭圆方程为

50252

2

21．解：（1）∵a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8 ∴点M（x，y）到两个定点F1

（0，－2），F2（0，2）的距离之和为8 ∴点M的轨迹C为F1、F2为焦点的椭圆，其方

x2y2??1 程为

1216（2）∵l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点，这时

????????????OP?OA?OB?0。

∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾，

∴直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋3，A（x1，y1），B(x2，y2) 由

?y?kx?3?2消y得:(4?3k2)x2?18kx?12?0此时??(18k)2?4(4?3k2)(?21)?0 ?xy2?1???1216恒成立．

18k21,xx?? 124?3k24?3k2????????????∵OP?OA?OB，∴四边形OAPB是平行四边形

且x1?x2??????????若存在直线l使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即OA?OB?0

????????????????∵OA?(x1,y1),OB?(x2,y2)?OA?OB?x1?x2?y1?y2?0

即

(1?k2)x1x2?3k(x1?x2)?9?0即(1?k2)(?

∴存在直线l:y??21k18k552)?3k(?)?9?0?k?,?k??4?3k24?3k21645x?3使得四边形OAPB为矩形． 4[简单几何体]，交角与距离参考答案

一、选择题 题号 1 答案 C 2 D 3 C 4 A 5 A 6 B 7 D 8 A 9 C 10 C 二、填空题11．3； 12．3； 13．π； 14．①③④ 15．①③④ 三、解答题 16．证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．??????????1分 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，??????????2分 则A（

11113，0，0），B（，1，0），C（－，1，0），D（－，0，0），V（0，0，）， 22222????????????13∴AB?(0,1,0),AD?(1,0,0),AV?(?,0,)????????????3分

22????????????????由AB?AD?(0,1,0)?(1,0,0)?0?AB?AD??????????????4分

????????????????13AB?AV?(0,1,0)?(?,0,)?0?AB?AV??????????????5分

22又AB∩AV＝A

∴AB⊥平面VAD????????????????????????????6分

????（Ⅱ）由（Ⅰ）得AB?(0,1,0)是面VAD的法向量????????????7分 ?设n?(1,y,z)是面VDB的法向量，则

?????x??1?13??3?n?VB?0?(1,y,z)?(?,1,?)?0????n?(1,?1,)??9分 ????????2233?n?BD?0?(1,y,z)?(?1,?1,0)?0?z???3??

?????∴cos?AB,n??(0,1,0)?(1,?1,3)3??21，??????????????11分

7211?3又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为arccos17．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1. 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1

所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），

B（0，3，0），C（0，1，3） O1（0，0，3）.

21????12分 7图3

从而AC?(?3,1,3),BO1?(0,?3,3),AC?BO1??3?3?3?0. 所以AC⊥BO1.

（II）解：因为BO1?OC??3?3?3?0,所以BO1⊥OC，

由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，BO1是平面OAC的一个法向量. 设n?(x,y,z)是0平面O1AC的一个法向量， ?n?AC?0??3x?y?3z?0,由??????n?O1C?0?y?0.取z?3, 得n?(1,0,3).

设二面角O—AC—O1的大小为?，由n、BO1的方向可知???n，BO1>，

所以cos??cos?n，BO1>=n?BO1?3.

4|n|?|BO1|即二面角O—AC—O1的大小是arccos

3. 4解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面O1

C 角，

F 即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1，

D E

O A 图4

B

OC是AC在面OBCO1内的射影.

O1C3， 因为tan?OOB?OB?3 tan?OOC??11OO13OO1 所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1

由三垂线定理得AC⊥BO1.

（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC. 设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC. 所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.

由题设知OA=3，OO1=3，O1C=1， 所以O1A?从而O1F?OA2?OO12?23,AC?O1A2?O1C2?13，

O1A?O1C23， ?AC13又O1E=OO12sin30°=

3， 2

所以sin?O1FE?O1E313. ?. 即二面角O—AC—O1的大小是arcsin4O1F418．解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间1

直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(12，0，)，D(0，2，0)，E(0，1，)，P(0，0，1)．

2

????????????????????1

∴CD＝(－1，0，0)，AD＝(0，2，0)，AP＝(0，0，1)，AE＝(0，1，) ，PC＝(1，2，－1)，

2

?????????CD?AD?0?CD?AD??????????CD?平面PAD?(1) CD?AP?0?CD?AP?平面PAD．??5分 ????平面PDC⊥

CD?平面PDC?AP?AD?A???1????????2－????????2AE?PC30

????????(2)∵cos?AE,PC??＝＝，

101|AE|?|PC|1+26

4

30

∴所求角的余弦值为．????????????????????????9分

10

(3)假设BC边上存在一点G满足题设条件，令BG＝x，则G(1，x，0)，作DQ⊥AG，则

????????????????DQ⊥平面PAG，即DQ＝1．∵2S△ADG＝S矩形ABCD，∴|AG|?|DQ|?|AB|?|AD|＝2∴????|AG|＝2，又AG＝x2+1，∴x＝3<2，

故存在点G，当BG＝3时，使点D到平面PAG的距离为1．??????????14分

19．解：⑴CC1∥BB1，又BB1⊥A1E，∴CC1⊥A1E，而CC1⊥A1F，∴CC1⊥平面A1EF，∴平面A1EF⊥平面B1BCC1????????????????????????4分

⑵作A1H⊥EF于H，则A1H⊥面B1BCC1，∴A1H为A1到面B1BCC1的距离，在△A1EF中，

A1E＝A1F＝2，EF＝2，∴△A1EF为等腰Rt△且EF为斜边，∴A1H为斜边上中线，可1

得A1H＝EF＝1????????????????????????????9分

2⑶作A1G⊥面ABC于G，连AG，则A1G就是A1到面ABC的距离，且AG是∠BAC的角平分线，A1G＝1????????????????????????????12分 cos45°631

∵cos∠A1AG＝＝，∴sin∠A1AG＝，∴A1A＝＝1??????14分

3cos30°33

320．解：（Ⅰ）如图所示： C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）

?SC?(2,0,?1),OB?(1,1,0)1010 ?cos?SC,OB???,??arccos555?22?????????????????????4分

（Ⅱ）①SB?(1,1,?1),CB?(?1,1,0)?n?SBC

??????????????n?SB,n?CB,?n?SB?1?p?q?0 ??????n?CB??1?p?0,解得:p?1,q?2,?n?(1,1,2)?????????????????????????????7分

②过O作OE?BC于E,则BC?面SOE，?SOE?SAB

又两面交于SE,过O作OH?SE于H,则OH?SBC,延长OA与CB交于F,则OF?2连FH,则?OFH为所求又OE?2,?SE?3

6SO?OE1?266?OH???,?sin??3?SE3263???arcsin6?????????????????10分6

③k的坐标为?1,?1,2?；OH?6 ??????????????14分． 321．以C为原点建立空间直角坐标系

（I）B(0，a，0)，N(a，0，a)，

∴|BN|?

(a?0)2?(0?a)2?(a?0)2?3a．4分

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高三数学单元测试卷（18套）答案(10)在线全文阅读。