小学奥数-几何五大模型(等高模型)(7)

如右图，分别过E、F作梯形底边的平行线，假设这两条直线之间的距离为h．再过B作AD的垂线．

由于S?AOF:S?DOE?1:3，所以S?DOE?3S?AOF，故S?DOE?S?AOF?2S?AOF．根据差不变原理，这个差等于?ADE与?ADF的面积之差．而?ADE与?ADF有一条公共的底边AD，两个三角形AD边上的高

11相差为h，所以它们的面积差为AD?h，故2S?AOF?AD?h．

22再看?BEF，它的面积等于是?BCF与?BCE的面积之差，这两个三角形也有一条公共的底边BC，

11BC边上的高也相差h，所以这两个三角形的面积之差为BC?h，故S?BEF?BC?h．

2211由于AD:BC?1:2，所以BC?2AD，则S?BEF?BC?h?AD?h?2?4S?AOF，

22所以S?AOF?S?BEF?4?6cm2．

【例 55】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如

果?ASM、?MTB与?DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为 ．

DASMTCNDASMTCNBB

【解析】 连接MN、AC、BD．

由于M是AB的中点，所以?AMN与?BMN的面积相等，而?MTB比?ASM的面积大1，所以?MSN比?MTN的面积大1；又由于N是CD的中点，所以?DMN的面积与?CMN的面积相等，那么?CTN的面积比?DSN的面积大1，所以?CTN的面积为9．

假设?MTN的面积为a，则?MSN的面积为a?1．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知?ASD的

4863面积为，?BTC的面积为．

aa?1要使这两个三角形的面积为整数，a可以为1，3或7．

由于?ADM的面积为?ABD面积的一半，?BCN的面积为?BCD面积的一半，所以?ADM与?BCN的面积之和为四边形ABCD面积的一半，所以?ADM与?BCN的面积之和等于四边形BMDN的面积，即： 48634863?6??9?7?a?a?1?8，得??2a?1． a?1aa?1a将a?1、3、7分别代入检验，只有a?7时等式成立，所以?MTN的面积为7，?MSN、?ASD、?BTC的面积分别为8、6、9．

四边形ABCD的面积为?6?7?8?9??2?60．

小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．

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