小学奥数-几何五大模型(等高模型)(2)

【解析】 因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED

是三角形EBC的高，

于是：三角形ABC的面积?BC?12?2?BC?6

三角形EBC的面积?BC?3?2?BC?1.5 所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍．

【例 8】 如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一

共有哪几个三角形？

FADEC

【解析】 AEC、AFC、ABF．

【巩固】如图，在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与ABE等积的三角形一共

有哪几个三角形？

ABE

【解析】 3个，AEC、BED、DEC．

【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？

AODBDC

【解析】 ABD与ACD，ABC与DBC，ABO与DCO．

【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC的面积为1，其中AE?3AB，BD?2BC，三角形BDE

的面积是多少？

BBEAEACDCDBCEBC ?2SACB【解析】 连接CE，∵AE?3AB，∴BE?2AB，S又∵BD?2BC，∴SBDE

?2SBCE?4SABC?4．

?ABC【例 10】 (2008年四中考题)如右图，AD?DB，AE?EF?FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，

的面积是 平方厘米．

BDBDAEFC

AEFC

11【解析】 连接CD．根据题意可知，?DEF的面积为?DAC面积的，?DAC的面积为?ABC面积的，所

23111以?DEF的面积为?ABC面积的??．而?DEF的面积为5平方厘米，所以?ABC的面积为

23615??30(平方厘米)． 6

【巩固】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF

长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？

AEFBDC

SSABDABC【解析】 ABD，ABC等高，所以面积的比为底的比，有

所以S?BD1?, BC2SAFE11AE1=?SABC??180?90(平方厘米)．同理有SABE??SABD??90?30(平方厘米)，22AD3FE3??SABE??30?22.5 (平方厘米)．即三角形AEF的面积是22.5平方厘米． BE4ABD

【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB?24厘米，BC?8厘米，求

三角形ZCY的面积．

DZAYCB111【解析】 ∵Y是BD的中点，Z是DY的中点，∴ZY???DB，SZCY?SDCB，

224111又∵ABCD是长方形，∴SZCY?SDCB??SABCD?24 (平方厘米)．

442

【巩固】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．

AFBE

CD

【解析】 三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半24?2?12，

三角形ADE又是三角形ADC面积的一半12?2?6．

三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积?6?2?3．

【巩固】如图，在三角形ABC中，BC?8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形

EBF的面积是多少平方厘米？

AEBFC

【解析】 ∵F是AC的中点

∴S∴SABC?2SABFABF

BEF同理SBEF?2SABC

?S?4?8?6?2?4?6(平方厘米)．

【例 11】 如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36

个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位．

GGCCDDEAFBEFAB

【解析】 如右图分割后可得，SEFG?S矩形DEFC?2?S矩形ABCD?4?36?4?9（平方单位）．

【巩固】(97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN?BN.

那么，阴影部分的面积是多少？

ANBCMDANBCMD【解析】 连接BM，因为M是中点所以△ABM的面积为

1又因为2AN?BN，所以△BDC的面积为41111115??，又因为△BDC面积为，所以阴影部分的面积为：1???. 4312212212

【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方

形组合而成．求阴影部分的面积．

BA12cm236cm212cm2M36cm2N48cm224cm248cm2【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则AB?121241?，CD??，

12?36424?48311111所以MN???，阴影部分面积为(12?24?36?48)???5(cm2)．

3412212

24cm2CD

CE?3AE，【例 13】 如图，三角形ABC中，DC?2BD，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少？

AEBDC

【解析】 ∵CE?3AE，∴AC?4AE，SADC?4SABCADE；

ADC又∵DC?2BD，∴BC?1.5DC，S?1.5S?6SADE?120(平方厘米)．

【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、

三角形BCD的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE的面积是 ．

BDAE【解析】 根据题意可知，S?ADC

?S?ADE?S?DCE?89?28?117，

C所以BD:AD?S?BDC:S?ADC?26:117?2:9， 那么S?DBE:S?ADE?BD:AD?2:9，

2227故S?DBE?89??(90?1)??20??19．

9999

【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形

BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．

AADDhBCE

【解析】 如右图，作AB的平行线DE．三角形BDE的面积与三角形ABD的面积相等，三角形DEC的面积就

BC是三角形BDC与三角形ABD的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC的高)是：2?10?5?4(分米)，梯形面积是：15?4?2?30(平方分米)．

【例 16】 图中AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积．

AOBCD

?15cm2，且OB?3OD，所以有SABD【解析】 在ABD中，因为S从而SAOBAOD?SAOB?3?5cm2．

因为ABD和ACD等底等高，所以有SOCD?SOCDACD．

?15cm2，在BCD中，SBOC?3S（cm2）． ?45cm2，所以梯形面积：15?5?15?45?80

【例 17】 如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．

DABCDAA′C B

【解析】 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可

以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A移到CB的延长线上的A′处，A′BD与 ABD面积相等，从而A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点． 具体做法：⑴ 连接BD；

⑵ 过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′． ⑶ 连接A′D，则A′CD与四边形ABCD等积．

【例 18】 （第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形

面积的15%，黄色三角形面积是21cm2．问：长方形的面积是多少平方厘米？

黄红绿红

【解析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿

色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%?15%?35%．

已知黄色三角形面积是21cm2，所以长方形面积等于21?35%?60（cm2）．

【例 19】 O是长方形ABCD内一点，已知?OBC的面积是5cm2，?OAB的面积是2cm2，求?OBD的面积是多少？

DAOPB11【解析】 由于ABCD是长方形，所以S?AOD?S?BOC?SABCD，而S?ABD?SABCD，所以S?AOD?S?BOC?S?ABD，

22则S?BOC?S?OAB?S?OBD，所以S?OBD?S?BOC?S?OAB?5?2?3cm2．

【例 20】 如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若?PBD的面积为8平方

分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？

AEPFGDEAPFGDC

【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当于求平行四边

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