小学奥数-几何五大模型(等高模型)(4)

【解析】 如果注意到DF为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到DF与

CI是平行的．所以可以连接CI、CF，如上图．

1由于DF与CI平行，所以?DFI的面积与?DFC的面积相等．而?DFC的面积为10?4??20，所

2以?DFI的面积也为20．

【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积．

FEFEADHADHG

BG BCC【解析】 连接AC、GF，由于AC与GF平行，可知四边形ACGF构成一个梯形．

由于?HCG面积为6平方厘米，且CH等于CF的三分之一，所以CH等于FH的

1，根据梯形蝴蝶2定理或相似三角形性质，可知?FHG的面积为12平方厘米，?AHF的面积为6平方厘米，?AHC的面积为3平方厘米．

那么正方形CGEF的面积为?6?12??2?36平方厘米，所以其边长为6厘米．

又?AFC的面积为6?3?9平方厘米，所以AD?9?2?6?3(厘米)，即正方形ABCD的边长为3厘

1米．那么，五边形ABGEF的面积为：36?9?32??49.5(平方厘米)．

2

【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的

点，DF?FC，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．

A乙DF甲BE丙C

【解析】 因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF?FC．所以A到CD的距离与E到CD的距离相等，即AE1与CD平行，四边形ADCE是平行四边形，阴影部分的面积?平行四边形ADCE的面积的，所以

2阴影部分的面积?乙的面积?2．设甲、乙、丙的面积分别为1份，则阴影面积为2份，梯形的面积

为5份，从而阴影部分的面积?32?5?2?12.8(平方厘米)．

【例 31】 如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么

三角形ABC的面积是多少？

AFCAFCAFCDBE

DBED

BE

【解析】 方法一：连接对角线AE．

∵ADEF是长方形

1 ∴S?ADE?S?AEF?SADEF

2DBS?ADB3FCS?ACF1??， ?? ∴

DES?ADE8EFS?AEF2BEDE?DB5CEFE?CF1∴??，?? DEDE8EFEF21515∴S?BEC????16?

282213∴S?ABC?SADEF?S?ADB?S?ACF?S?CBE?．

2方法二：连接BF，由图知S△ABF?16?2?8，所以S△BEF?16?8?3?5，又由S△ACF?4，恰好是

△AEF面积的一半，所以C是EF的中点，因此S△BCE?S△BCF?5?2?2.，5所以

S△ABC?16?3?4?2.5?6.5

【例 32】 如图，在平行四边形ABCD中，BE?EC，CF?2FD．求阴影面积与空白面积的比．

AHFGBECD11【解析】 方法一：因为BE?EC，CF?2FD，所以S△ABE?S四边形ABCD，S△ADF?S四边形ABCD．

46因为AD?2BE，所以AG?2GE，

1121所以S△BGE?S△ABE?S四边形ABCD，S△ABG?S△ABE?S四边形ABCD．

3123611同理可得，S△ADH?S四边形ABCD，S△DHF?S四边形ABCD．

8241111112因为S△BCD?S四边形ABCD，所以空白部分的面积?(????)S四边形ABCD?S四边形ABCD，

2212246831所以阴影部分的面积是S四边形ABCD．

312:?1:2，所以阴影面积与空白面积的比是1:2． 33

【例 33】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边上的一点，且AE?3EC，O为DC与BE的交点．若?CEO的面积为a平方厘米，?BDO的面积为b平方厘米．且b?a是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是 平方厘米．

ADbBOaEC1111【解析】 S?ABC?S?BCD?b?S?BCO，S?ABC?S?BCE?a?S?BCO，所以S?ABC?S?ABC?b?a?2.5(平方厘

2424米)．所以S?ABC?2.5?4?10(平方厘米)．

【例 34】 如图，在梯形ABCD中，AD:BE?4:3，BE:EC?2:3，且?BOE的面积比?AOD的面积小10

平方厘米．梯形ABCD的面积是 平方厘米．

AD

OBEC【解析】 根据题意可知AD:BE:EC?8:6:9，则

S?ABD83?，S?ABE?S?ABD， S?ABE641而S?ABD?S?ABE?S?AOD?S?BOE?10平方厘米，所以 S?ABD?10，则S?ABD?40平方厘米．

4S9?61515?，所以S?BCD??40?75平方厘米． 又?BCD?S?ABD888

所以S梯形ABCD?S?ABD?S?BCD?40?75?115(平方厘米)．

【巩固】(第五届《小数报》数学竞赛初赛)如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与DC平行，AE

2与BD相交于O点．已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC?BC．求

5梯形ABCD的面积．

AODAOD

【解析】 连接AC．根据差不变原理可知三角形ABE的面积比三角形ABD大4平方米，而三角形ABD与三

角形ACD面积相等，因此也与三角形ACE面积相等，从而三角形ABE的面积比三角形ACE的大4

平方米．

222 但EC?BC，所以三角形ACE的面积是三角形ABE的?，从而三角形ABE的面积是

55?232?2???4??1???12(平方米)，梯形ABCD的面积为：12??1??2??28(平方米)．

3?3???

【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中

阴影部分的面积是多少？

BECBECA4935DEB13

【解析】 三角形ABC的面积?三角形CDE的面积?(13?35?49)?长方形面积?阴影部分面积；又因为三角

1形ABC的面积?三角形CDE的面积?长方形面积，所以可得：

2阴影部分面积?13?35?49?97．

【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边

上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？

C

【解析】 如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．

CE8AD55B

有?ABC为直角，而?CED??ABC，所以?CED也为直角.而CE?CB?5.ADE与CED同高，

SAE13-58所以面积比为底的比，及ADE===，设ADE的面积为“8”，则CED的面积为

SCED5EC5ED“5”．C是由CDB折叠而成，所以有CED、CDB面积相等，ABC是由ADE、CED、CDB15组成，所以SABC=“8”+“5”+“5”=“18”对应为?5?12?30，所以“1”份对应为，那么

23511△ADE的面积为8?=13平方厘米．即阴影部分的面积为13平方厘米．

333

【例 37】 如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC?2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是

多少平方厘米？

AFBDECG

【解析】 如下图，连接FC，DBF、BFG的面积相等，设为x平方厘米;FGC、DFC的面积相等，设为

1y平方厘米，那么DEF的面积为y平方厘米．

3ADxFyECBxGy

SB?2?1SCDx?2y，

?x?y?0.5①111．所以有．比较②、①式，②式左边比①=x+y=l???BDE3x?y?1②333?式左边多2x，②式右边比①式右边大0.5，有2x?0.5，即x?0.25,y?0.25．而阴影部分面积为

255y?y??0.25?平方厘米．

3312

【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大

伯常走这两条小路，他知道DF?DC,且AD?2DE．则两块地ACF和CFB的面积比是_________．

CEDFBCEDFAABCEDGABF

【解析】 方法一：连接BD．

设△CED的面积为1， △BED的面积x，则根据题上说给出的条件，由DF?DC得S△BDC?S△BDF， 即△BDF的面积为x?1、S△ADC?S△ADF;

又有AD?2DE，S△ADC?S△ADF?2S△CDE?2、S△ABD?2S△BDE?2x，而S△ABD?x?1?2?2x； 得x?3，所以S△ACF:S△CFB?(2?2):(1?3?4)?1:2．

?x?1?y方法二：连接BD，设S△CED?1(份)，则S△ACD?S△ADF?2,设S△BED?xS△BFD?y则有?，

2x?y?2??x?3解得?，所以S△ACF:S△CFB?(2?2):(4?3?1)?1:2

y?4?方法三：过F点作FG∥BC交AE于G点，由相似得CD:DF?ED:DG?1:1,又因为AD?2DE，所以AG:GE?AF:FB?1:2，所以两块田地ACF和CFB的面积比?AF:FB?1:2

【例 39】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，BC?45，AC?21，?ABC被分

成9个面积相等的小三角形，那么DI?FK? ．

BDEGAHJKCIF

【解析】 由题意可知，BD:BC?S?BAD:S?ABC?2:9，所以BD?DI:DC??DIF2BC?10，CD?BC?BD?35；又9S:?SDF?C2:5，所以DI?2DC?14，同样分析可得FK?10，所以5DI?FK?14?10?24．

【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，

并且?OAB、?ABC、?BCD、?CDE、?DEF的面积都等于1，则?DCF的面积等于 ．

NFDBOACEM

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