小学奥数-几何五大模型(等高模型)

三角形等高模型与鸟头模型

模型一 三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式：

三角形面积?底?高?2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时

1发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来

3的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如图 S1:S2?a:b

ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶

6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：

AAFAGBDCC DEC BD⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

B

⑴⑵⑶⑷⑸⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：

【例 2】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？

⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ A

BDC

【解析】 因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A

点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD的面积?12?高?2?6?高 （12?4）?高?2?8?高 三角形ABC的面积?三角形ADC的面积?4?高?2?2?高

4倍； 3三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。 所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的

【例 3】 如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面

积是 平方厘米。

AEDBFC

【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4?3?2?6(平方厘米)。

【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积

是 平方厘米。

【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也

等于平行四边形面积的一半，为50?2?25平方厘米。

【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则

它内部阴影部分的面积是 。

ABFDEC1【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为?20?12?120。

2

【例 4】 如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。

AEBHDGAEBHDG

【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。

连接BH、CH。 ∵AE?EB， ∴S△AEH?S△BEH．

同理，S△BFH?S△CFH，SCGH=SDGH，

11∴S阴影?S长方形ABCD??56?28(平方厘米)．

22FCFC

【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部

分的面积是 。

ADGEBFCEBFA65431G2CHD

【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H和这些分点以及正

方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形。这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形

的面积和第5个第6个三角形相等。

因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。

【例 5】 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积

是多少？

AHDEG

【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：

HDAFBCEG

C

111 可得：S?EHB?S?AHB、S?FHB?S?CHB、S?DHG?S?DHC，而SABCD?S?AHB?S?CHB?S?CHD?36

22211 即S?EHB?S?BHF?S?DHG?(S?AHB?S?CHB?S?CHD)??36?18；

2211111 而S?EHB?S?BHF?S?DHG?S阴影?S?EBF，S?EBF??BE?BF??(?AB)?(?BC)??36?4.5。

22228FB 所以阴影部分的面积是：S阴影?18?S?EBF?18?4.5?13.5 解法二：特殊点法。找H的特殊点，把H点与D点重合，

那么图形就可变成右图：

AD(H)EG

这样阴影部分的面积就是?DEF的面积，根据鸟头定理，则有：

1111111 S阴影?SABCD?S?AED?S?BEF?S?CFD?36???36????36???36?13.5。

2222222

【例 6】 长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是

多少？

FCBAHDEGBFC

A(H)DAHDEGEGC F B【解析】 （法1）特殊点法。由于H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图），

那么阴影部分的面积就是?AEF与?ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD111133面积的和，所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的??，为36??13.5。

484888（法2）寻找可利用的条件，连接BH、HC，如右上图。

111可得：S?EHB?S?AHB、S?FHB?S?CHB、S?DHG?S?DHC，而SABCD?S?AHB?S?CHB?S?CHD?36，

22211即S?EHB?S?BHF?S?DHG?(S?AHB?S?CHB?S?CHD)??36?18；

2211111而S?EHB?S?BHF?S?DHG?S阴影?S?EBF，S?EBF??BE?BF??(?AB)?(?BC)??36?4.5。

22228所以阴影部分的面积是：S阴影?18?S?EBF?18?4.5?13.5。

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，

分别与P点连接,求阴影部分面积。

ADA(P)DADBFCPPCCBB

【解析】 （法1）特殊点法。由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴

11影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部

4611分的面积为62?(?)?15平方厘米。

46（法2）连接PA、PC。

BC由于?PAD与?PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积

1之和等于正方形ABCD面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面

4111积的，所以阴影部分的面积为62?(?)?15平方厘米。

646

【例 7】 如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD?12厘米，DE?3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC

面积的几倍？

AEBDC

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