小学奥数-几何五大模型(等高模型)(6)

S四边形ABCD?10?10?3?2?3?2?53．

2

【例 47】 如图，三角形AEF的面积是17，DE、BF的长度分别为11、3．求长方形ABCD的面积．

ABFAHGMBF

【解析】 如图，过F作FH∥AB，过E作EG∥AD，FH、EG交于M，连接AM．

则S矩形ABCD?S矩形AGMH?S矩形GBFM?S矩形MFCE?S矩形HMED

?AG?AH?2S?AMF?2S?EMF?2S?AME ?DE?BF?2S?AEF ?11?3?2?17?67

DECDEC另解：设三角形ADE、CEF、ABF的面积之和为s，则正方形ABCD的面积为s?17．

从图中可以看出，三角形ADE、CEF、ABF的面积之和的2倍，等于正方形ABCD的面积与长方形AGMH的面积之和，即2s??s?17??11?3，得s?50，所以正方形ABCD的面积为50?17?67．

 

【例 48】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形ABCD中，AB?67，

BC?30．E、F分别是AB、BC边上的两点，BE?BF?49．那么，三角形DEF面积的最小值是 ．

DCFDNMOECFAEB

AB

【解析】 由于长方形ABCD的面积是一定的，要使三角形DEF面积最小，就必须使?ADE、?BEF、?CDF的面积之和最大．

由于?ADE、?BEF、?CDF都是直角三角形，可以分别过E、F作AD、CD的平行线，可构成三个矩形ADME、CDNF和BEOF，如图所示．

容易知道这三个矩形的面积之和等于?ADE、?BEF、?CDF的面积之和的2倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形ABCD的面积加上长方形MDNO的面积．所以为使?ADE、?BEF、?CDF的面积之和最大，只需使长方形MDNO的面积最大．

长方形MDNO的面积等于其长与宽的积，而其长DM?AE，宽DN?CF，由题知

AE?CF??AB?BC???BE?BF??67?30?49?48，根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，

所以当AE与CF的差为0，即AE与CF相等时它们的积最大，此时长方形MDNO的面积也最大，所以此时三角形DEF面积最小．

当AE与CF相等时，AE?CF?48?2?24，此时三角形DEF的面积为：

167?30??67?30?24?24??2?717．(也可根据67?30???67?24?30?24?43?6??717得到三角

2形DEF的面积)

 

【例 49】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任意

一点，BL?DM?4、BK?DN?5，那么阴影部分的面积是 ． APNLBA(P)LBAPNLBKNKKDCDCMM

【解析】 （法1）特殊点法．由于P是内部任意一点，不妨设P点与A点重合(如上中图)，那么阴影部分就是

DMC?AMN和?ALK．而?AMN的面积为(12?5)?4?2?14，?ALK的面积为(12?4)?5?2?20，所以

阴影部分的面积为14?20?34．

（法2）寻找可以利用的条件，连接AP、BP、CP、DP可得右上图所示：

11 则有:S?PDC?S?PAB?SABCD??122?72

22 同理可得：S?PAD?S?PBC?72;

1 而S?PDM:S?PDC?DM:DC?4:12?1:3,即S?PDM?S?PDC；

3155 同理：S?PBL?S?PAB,S?PND?S?PDA,S?PBK?S?PBC;

3121215 所以：(S?PDM?S?PBL)?(S?PND?S?PBK)?(S?PDC?S?PAB)?(S?PDA?S?PBC)

312 而(S?PDM?S?PBL)?(S?PND?S?PBK)?(S?PNM?S?PLK)?(S?DNM?S?BLK)；

阴影面积1 S?DNM?S?BLK??4?5?10；

2 所以阴影部分的面积是：

15S?PNM?S?PLK?(S?PDC?S?PAB)?(S?PDA?S?PBC)?(S?DNM?S?BLK)

31215 即为：?72??72?10?2?24?30?20?34．

312

【例 50】 如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四

边形PQRS的面积之比．

DHAPESRBFGQESRCBFAPGQHD

【解析】 (法1)设S?AED?S1，S?BGC?S2，S?ABF?S3，S?DHC?S4．

1111连接BD知S1?S?ABD，S1?S?ABD，S1?S?ABD，S2?S?BCD；

222211所以S1?S2??S?ABD?S?BCD??SABCD；

221同理S3?S4?SABCD．于是S1?S2?S3?S4?SABCD；

2C

注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形PQRS；因此四块阴影的面积和就等于四边形PQRS的面积．

(法2)特殊值法(只用于填空题、选择题)，将四边形画成正方形，很容易得到结果．

 

【巩固】(2008年”希望杯”二试六年级)如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，FG与FH交于点O，S1、S2、S3及S4分别表示四个小四边形的面积．试比较S1?S3与S2?S4的大小．

DGCS4S3BDFGCS4S3BFS1HOS2AES1HOS2AE

【解析】 如右图，连接AO、BO、CO、DO，则可判断出，每条边与O点所构成的三角形都被分为面积相

等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于S1?S3、S2?S4这两个不同的组合，所以可知S1?S3?S2?S4．

 

【例 51】 如图，四边形ABCD中，DE:EF:FC?3:2:1，BG:GH:AH?3:2:1，AD:BC?1:2，已知

四边形ABCD的面积等于4，则四边形EFHG的面积? ．

EDFCDEFCA

【解析】 运用三角形面积与底和高的关系解题．

HGBAHGB

连接AC、AE、GC、GE，因为DE:EF:FC?3:2:1，BG:GH:AH?3:2:1，所以，

1在?ABC中，S?BCG?S?ABC，

21在?ACD中，S?AED?S?ACD，

21在?AEG中，S?AEH?S?HEG，

21在?CEG中，S?CFG?S?EFG．

21111因为S?BCG?S?AED?S?ABC?S?ACD??S?ABC?S?ACD??SABCD?2S?BCG，

2222所以SAGCE?SABCD??S?BCG?S?AED??4?2?2．

11又因为SAGCE?S?AEH?S?HEG?S?CFG?S?EFG?S?HEG?S?HEG?S?EFG?S?EFG

2233??S?HEG?S?EFG??SEFGH， 2234所以SEFGH?2??．

23

【拓展】如图，对于任意四边形ABCD，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH，求四边形

EFGH的面积是四边形ABCD的几分之几？

AJMENFBKHDOGPC

【解析】 分层次来考虑：

22⑴如下左图，SBMD?SABD?，SBPD?SCBD?，

3322所以SMBPD?(SABD?SCBD)??SABCD?．

33又因为SDOM?SPOM，SMNP?SBNP，

1所以SMNPO?SMBPD；

2121SMNPO???SABCD??SABCD．

233BNMAAKFEJJHDOGPCDMENFBKHOGPC

12⑵如右上图，已知MJ?BD，OK?BD；所以MJ:BD?1:2；

33所以ME:EO?1:2，即E是三等分点；

 

同理，可知F、G、H都是三等分点；

1111所以再次应用⑴的结论，可知，SEFGH??SMNPO???SABCD?SABCD．

3339

【例 52】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC，在边AB、BC、CA的正中间分

别取点L、M、N，在边AL、BM、CN上分别取点P、Q、R，使LP?MQ?NR，当PM和RL、PM和QN、QN和RL的相交点分别是X、Y、Z时，使XY?XL．

这时，三角形XYZ的面积是三角形ABC的面积的几分之几？请写出思考过程．

APLXBQYMZNRC

【解析】 连接LN、NM、ML，显然，△LMN是正三角形将△LMN放大至如图⑵．

APLXBQMZYNRCLXYZRN

图⑴ 图⑵

M

连MZ，由对称性知，YM?YZ?YX?ZN．因此，S△XYZ?S△MYZ?S△MNZ． 同理，S△MNY?S△LMX?S△NLZ?2S△XYZ．

1111所以，S△XYZ?S△MNL??S△ABC?S△ABC．

6?17428

【例 53】 如图：已知在梯形ABCD中，上底是下底的

2，其中F是BC边上任意一点，三角形AME、三3角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12．求三角形NDE的面积．

ABABMEFNDCDEMFNCh

【解析】 如图，设上底为2a，下底为3a，三角形ABE与三角形ABF的高相差为h．

1由于S?ABF?S?ABE?S?BMF?S?AME?20?14?6，所以?2ah?6．即ah?6．

211又S?CDE?S?CDF?S?DEN?S?CFN??3ah??3?6?9，所以S?DEN?12?9?21．

22

【例 54】 如图，已知ABCD是梯形，AD∥BC，AD:BC?1:2，S?AOF:S?DOE?1:3，S?BEF?24cm2，求

?AOF的面积．

AFOEBCBDFhAOEDC

【解析】 本题是09年EMC六年级试题，初看之下，ABCD是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四

边形ADEF内似乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为

E、F这两个点的位置不明确．再看题目中的条件，S?AOF:S?DOE?1:3，S?BEF?24cm2，这两个条

件中的前一个可以根据差不变原理转化成?ADE与?ADF的面积差，?BEF则是?BCF与?BCE的面积差，两者都涉及到E、F以及有同一条底边的两个三角形，于是想到过E、F分别作梯形底边的平行线．

如右图，分别过E、F作梯形底边的平行线，假设这两条直线之间的距离为h．再过B作AD的垂线．

由于S?AOF:S?DOE?1:3，所以S?DOE?3S?AOF，故S?DOE?S?AOF?2S?AOF．根据差不变原理，这个差等于?ADE与?ADF的面积之差．而?ADE与?ADF有一条公共的底边AD，两个三角形AD边上的高

11相差为h，所以它们的面积差为AD?h，故2S?AOF?AD?h．

22再看?BEF，它的面积等于是?BCF与?BCE的面积之差，这两个三角形也有一条公共的底边BC，

11BC边上的高也相差h，所以这两个三角形的面积之差为BC?h，故S?BEF?BC?h．

2211由于AD:BC?1:2，所以BC?2AD，则S?BEF?BC?h?AD?h?2?4S?AOF，

22所以S?AOF?S?BEF?4?6cm2．

 

【例 55】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如

果?ASM、?MTB与?DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为 ．

DASMTCNDASMTCNBB

【解析】 连接MN、AC、BD．

由于M是AB的中点，所以?AMN与?BMN的面积相等，而?MTB比?ASM的面积大1，所以?MSN比?MTN的面积大1；又由于N是CD的中点，所以?DMN的面积与?CMN的面积相等，那么?CTN的面积比?DSN的面积大1，所以?CTN的面积为9．

假设?MTN的面积为a，则?MSN的面积为a?1．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知?ASD的

4863面积为，?BTC的面积为．

aa?1要使这两个三角形的面积为整数，a可以为1，3或7．

由于?ADM的面积为?ABD面积的一半，?BCN的面积为?BCD面积的一半，所以?ADM与?BCN的面积之和为四边形ABCD面积的一半，所以?ADM与?BCN的面积之和等于四边形BMDN的面积，即： 48634863?6??9?7?a?a?1?8，得??2a?1． a?1aa?1a将a?1、3、7分别代入检验，只有a?7时等式成立，所以?MTN的面积为7，?MSN、?ASD、?BTC的面积分别为8、6、9．

四边形ABCD的面积为?6?7?8?9??2?60．

小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．

 

 

 

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