第3章 交流电路(3)

需要注意的是：V??Vi Z??Zi，这只是代数和。

例3-3 有一个RLC串联电路，v=2202sin?314t?30??V，R=30Ω，L=254mH ， C=80μF。计算：

（1） 感抗、容抗及阻抗；

（2） 电流的有效值I及瞬时值i （3） 作出相量图；

（4） VR、VL、VC、及vR、vL、vC （5） P及Q。 解：（1）感抗XL=ωL=314×254×10-3=80Ω 1容抗 XC?1??40? ?6?C314?80?1036.9? 50 40 53.1?30 图3-20 例3-3 阻抗三角形

阻抗 Z?R2??XL?XC??50?

2（2） I?V?4.4 A ZXL?XC?53.1? R?LV?CV?V 阻抗角 ??arctg已知ψv=30°，???V??i?53.1??0（感性）， 则 ?v??i????23.1°

故 i?4.42sin?314t?23.1?? A

30? 23.1? ?VR?I?CV图3-21 例3-3 相量图

（3）相量图如图3-21所示。

（4）VR=IR=132V VL=IXL=352V VC=IXC=176V 由相量图可得：

vR?1322sin?314t?23.1??V vL?3522sin?314t?66.9??V

vC?1762sin?314t?113.1??V （5）P=I2R=583W

Q?QL?Qc?IVL?IVc?774var

例3-4图3-19的电路中，若其相量图如图3-22所示，试判别Z1 、Z2及整个电路的性质。

解：由Z?V?Z??1

?I??1?0 V?1领先于I?，故Z1为感性。

?为由V?与V?构成的平行四边形 又因为V12φ1 φ ?I?V

?1V?， ?为图中虚线所示，V?滞后于I的对角线，则V22故Z2为容性。

?滞后于I?角?，故呈容性。 整个电路的V（当然，若Z1，Z2已知，由其虚部的正

负便可直接判定其性质，但整个电路的性质判

?与I?的相位关系）定还需比较V。

3.2.3 并联及混联交流电路的分析与计算

1．一般阻抗的并联：

如图3-23所示为复阻抗的并联电路。 ??11??1? ??I??I??V?V??由KCL：I???12?V?ZVZ1Z2?ZZ2??1图3-22 例3-4相量图

?I?1I?VZ1 Z2 ?I2则多个阻抗并联时有：

???I? （相量和） （3-31） Ii11（复数和） （3-32） ??ZZiZZi图3-23 复阻抗的并联

同样应当注意： I??Ii 1??1 这只是代数和

2．混联交流电路的分析与计算：

一般的实际负载，常为RL的组合或RC的组合， i 由它们联接的电路常具有混联的方式。如图3-24所 i1 R1 R2 示的电路便具有这种特点。分析此类电路，常用的

v方法有两种。一种是已知参数的电路，可借助于相

量图进行分析与计算；另一种是由广义阻抗或复杂 jXL –jXC 参数（数值及相位角不特殊）组成的电路，一般用 复数（相量式）进行分析与计算。实用中后者的情 况具多，而前者技巧性较强。下面，我们通过例题

图3-24 实际阻抗的并联电路

介绍这两种分析方法

i2 例3-5 图3-25电路中I1=10A ， I2=102A， V=200V ， R=5Ω ， R2=XL ，试求I、XC、XL及R2。

?及V?如电路图中所示， 解：设电压V12?滞后45°，以V? ?比V由R2=XL ，显然I222为参考相量，作相量图如图3-26所示。

?V?1I?I?1V–jXC ?2VR1 R2 jXL ?同相位，则 由图得I=10A，且与V2

?同相位， V1=IR=50V也与V2从而 V2?V?V1?150V （三个电压同相位）

得： Xc?222L图3-25 例3-5电路图

?1IV2?15? I1?1V?I?2V?VV15R?x?2R2?2???7.52?

I2245R2=XL=7.5Ω

例3-6 图3-27电路中，已知V=100V，

f=50Hz I1=I2=I3 P=866W，求R、L、C。

?2I图3-26 例3-5相量图

??V?。??I??I?，故 I?,I?,I?构成等边三角形，其中V解：因为I1=I2=I3 ，且 I3123123?同相位，V?为参考相量，作相量图如图3-28所示。又因V?与I?先于I?90?。 V2RL2VR2P所以 VR=Vcos30= 50V 则 R??8.66? 且 I2=I3=?10A

PR

?3I?LV?1I?2IR ?3I30? ?1I?V?VL C ?2I?RV图3-27 例3-6电路图 图3-28 例3-6相量图

故 L?XL??XLH C?1?1?3?8μF ?0.0162?f?XC2?fXC例3-7 在图3-24所示的电路中，若R1=3Ω R2=8Ω XL=4Ω XC=6Ω，求：

（1）电路的等效复阻抗Z；

? I? I?； ??220??0?V求I（2）若V12（3）P、 Q、 S及cos?。 解：（1）Z??R1?jxL??R2?jxC?48?12??4.032?j1.824?

R1?R2?j?xL?xC?11?2j??（2）I1?V220?0???44??53.1?（A）

R1?jxL5?53.1?

?? I2?V220?0???22?36.9?（A）

R2?jxC10??36.9????I??I?验证） ??V?220?0??49.2??26.7?（A） （可用II12Z4.47?26.7?2（3）P?I12R1?I2R2?9.68kW

2Q?I12XL?I2XC?4.84kvar

S=VI=10.824kVA cos?=

P=0.89 S

3.2.4 功率因数的提高

交流电路中功率因数的高低是供电系统中密切关注的事情，提高输电网络的功率因数对国民经济的发展有着非常重要的意义。

由cos??P，提高cos?即提高有功功率的利用率，亦即使发电设备的容量得以充分利S用，或者说减小电源与负载间的无功互换规模。如电磁镇流式的日光灯。cos??0.5（感性）若不提高线路的功率因数，单其与电源间的无功互换规模就达50%。

另一方面，此种无功互换虽不直接消耗电源能量，但在远距离的输电线路上必将产生功

?P?率损耗。即?P?Ir???Vcos???r 其中r可认为是线路及发电机绕组的内阻。亦即提高

??22cos?，可同时减小线损与发电机内耗。

而cos?提高，从根本上讲，P的大小只决定于电阻性负载的应用。或者说其主要由用

户决定。从这个意义上讲，提高cos?又是广大用电户的事情。也就是说，这里还蕴含着一个顾全大局与爱国主义的问题。因此，它是与国与民皆息息相关的大事。

提高功率因数的首要任务是减小电源与负载间的无功互换规模，而不改变原负载的工作状态。因此，感性负载需并联容性元件去补偿其无功功率；容性负载则需并联感性元件补偿之。一般工矿企业大多数为感性负载，下面以感性负载并联电容元件为例，分析提高功率因数的过程。 ?CI ?V??II1?CI

φ R φ1 ?C V ?IL ?C?1II

（a） （b）

图3-29提高功率因数图例

感性负载并联电容提高功率因数的电路如图3-29（a）所示。以电压为参考相量作出如

?与V?间的相位图（b）的相量图，其中?1为原感性负载的阻抗角，?为并C后线路总电流I差。显见并C后，线路电流减小，负载电流与负载的功率因数仍不变，而线路的功率因数

提高。

?同相的分量）Icos??Icos?不变。无功分量由图（b）还可看出，其有功分量（与V11?垂直的分量）变小，实际是由电容C补偿了一部分无功分量。亦即，有功功率P不（与V变，无功功率Q减小，显然提高了电源的有功利用率。

?将若C值增大。IC也将增大，I将进一步减小，但并不是C越大、I越小。再增大C，I?，成为容性。一般将补偿为另一种性质的情况称作过补偿，补偿后仍为同样性质领先于V?V?同相位）的情况称作完全补偿。 的情况叫欠补偿，而恰好补偿为阻性（I供电部门对用户负载的功率因数是有要求的，一般应在0.9以上，工矿企业配电时也必

须考虑这一因素，常在变配电室中安装大型电容器来统一调节。

下面介绍提高功率因数与需要并联电容的电容量间的关系，由图3-29（b）中的无功分量可得到：

IC?I1sin??Isin???P(tg?1?tg?) VPPsin?1?sin?

Vcos?1Vcos?又因 IC?V??cV XC

故： C?P?tg?1?tg?? （3-33）

2?V即把功率因数cos?1提高到cos?所需并入电容器的电容量。

例3-8 某学校有1000只220V、40W的日光灯，采用电磁镇流式，本身功耗为8W。其功率因数cos?=0.5，若改用cos?=0.95的电子式镇流器，功耗为0.1W，线路电流可减小多少？仅此一项可使变压器的输出功率减少多少？

解：cos?=0.5时 I?P?(40?8)?1000?436.4A

Vcos?220?0.5cos?=0.95时 I??P40?1000??191.4A（略

Vcos?220?0.95

故 ?I?I?I??245.0 A 变压器输出功率是指其视在功率 则 ?S?IV?I?V??IV?54kVA

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