计算机图形学课后题答案--许长青、许志闻(7)

y α O x

tg??xx1?? y??yy?bx?yb当b>0时，若x>0，即在第一象限中，平行于y轴的直线向y正方向错切；若y<0，即在第三象限中，平行于y轴的直线向y负方向错切。

当b<0时，若y>0，即在第四象限中，平行于y轴的直线向y负方向错切；若y<0，即在第二象限中，平行于y轴的直线向y正方向错切。

4.说明通过用第三题规定的错移变换与比例变换组合，可以得到任意的绕原点的旋转变换。 任意的绕原点的旋转变换都可以通过如下错移变换与比例变换组合得到

00??cos?0?1??tan?10??01/cos?????01?0?0???0?cos?sin?0?????sin?cos?0???01??0?0??1tan??00?1??1?0???00?0??1??

??100??1cos?sin?0????tan?10??0??cos?0??001?01?????001??????0?cos?sin?0?????sin?cos?0???001???00?cos?0?01???

1/

5.举例说明由平移、比例或旋转构成的组合变换一般不能交换变换的次序，说明什么情况下可以交换次序。

平移与比例不能交换变换的次序

?10?T(Tx,Ty)?S(Sx,Sy)??01?TxTy??SxS(Sx,Sy)?T(Tx,Ty)???0??000??Sx?0???01??0??0Sy00??10?Sy0???0101????TxTy平移与旋转不能交换变换的次序 ?10?T(Tx,Ty)?R(?)??01?TxTy??cos?R(?)?T(Tx,Ty)????sin???00??cos??0????sin?1??0??sin?cos?0sin?cos?00??Sx00???0??0S0y????1????TxSxTySy1?

0??Sx00????0???0Sy0???1???TxTy1?0??cos?sin??0???sin?cos???1????Txcos??Tysin?Txsin??Tycos?0??cos?sin?0????0????sin?cos?0??1?Ty1???Tx?0??0?1??

0??10?0???011????TxTy当Sx?Sy时，比例与旋转不能交换变换的次序 当Sx?Sy时，比例与旋转可以交换变换的次序

?Sx00??cos?sin???S(Sx,Sy)?R(?)???0Sy0???sin?cos??0?001????0?cos?sin?0??Sx0??0SR(?)?S(Sx,Sy)???sin?cos?0y????01??0???000??Sxcos??0?????Sysin?1?0???0??Sxcos???Ssin?0????x1?0???Sxsin?Sycos?0Sysin?Sycos?00?0??1?? 0?0??1??若组合变换由一系列比例和旋转变换组成，且比例变换中Sx?Sy，则可以交换变换次序。 若组合变换是连续的平移、比例或旋转变换，则可以交换变换次序。

T(Tx,Ty)?T(Tx?,Ty?)?T(Tx?Tx?,Ty?Ty?)?,S???S(Sx,Sy)?S(Sxy)?S(Sx?Sx,Sy?Sy) R(?)?R(??)?R(????)

6.矩阵

?ab0??cd0? ????mn1??引起对平面图形的变换是仿射变换。说明任意平移、比例、错移、旋转变换的组合是仿射变

换，并且反过来任意仿射变换可以通过平移、比例、错移及旋转变换的组合得到。说明仿射变换保持直线，即在仿射变换下直线仍为直线。说明若有两个不共线的三点组A、B、C和A'、B'、C'，则存在唯一的仿射变换，将A、B、C变换为A'、B'、C'。

显然，平移变换

?10??01?TxTy?比例变换

0??0? 1??0?0?? 1??sin?cos?00?0?? 1???Sx?0???00Sy0旋转变换

?cos???sin????0错切变换

?1d0??b10? ????001??

都属于仿射变换。

任意仿射变换皆可分解为错切、比例和平移变换的组合。

??1?ab0???cd0???c???a??mn1???0???bd10?0???a00??100???010?

0??0d0???????001????mn1??1????任意直线经仿射变换，得

??x0?vxt?ab0??cd0?y0?vyt1??????mn1??

???ax0?cy0?m?(avx?cvy)tbx0?dy0?n?(bvx?dvy)t1??易见，此参数方程仍为直线方程。

任意不共线的三点组A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，经过如下变换都可转换成规范三点组O(0,0)、D(1,0)、E(0,1)：

A?x1B??x2C??x3y1y2y31??001?O?101?D

1?H?????1???011??EH?T(?x0,?y0)R(?)SHx(a)S(?1/w,?1/h)00??cos?sin?0??100???1/w00??1???sin?cos?0??a10??0?

??010?1/h0?????????01?01???x0?y01????0???001????0?y1?y2?y3?y1?0??FF??x?xx?x1321??0???FF?? xy?x yxy?xy31131221?1???FF??其中

F?x2y3 ? x2y1 ? x1y3 ? y2x3 ? y2x1 ? y1x3

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