计算机图形学课后题答案--许长青、许志闻

习题解答 第2章

2．如果线段端点坐标值不是整数，采用DDA算法产生的直线和将端点坐标值先取整再用Bresenham算法产生的直线是否完全相同?为什么?能否扩充整数Bresenham算法使之能处理当线段端点坐标值不是整数的情况(比端点坐标先取整数产生的直线更精确)。

如果线段端点坐标值不是整数，DDA算法和Bresenham算法产生的直线不完全相同。DDA算法是在直线附近寻找最靠近直线的象素点。而端点坐标值先取整再用Bresenham算法，因为端点坐标值先取整，与原直线相比，可能会改变直线的斜率。因此两种算法相比，前者比后者更精确。

可以将整数Bresenham算法扩充为实数Bresenham算法。算法中的变量都应采用实数类型，在绘制时再对实数坐标值取整数，这样做比端点坐标先取整数产生的直线更精确，具体算法如下：

void BresenhamLine(double x1, double y1, double x2, double y2) { int x,y ; double dx,dy,p; x=(int)(x1+0.5); y=(int)(y1+0.5); dx=x2-x1; dy=y2-y1; p=2*dy*(x-x1+1)-dx*(2*y-2*y1+1); for(;x<=x2;x++) { SetPixel(x,y); if(p>=0) { y++; p+=2*(dy-dx); } else { p+=2*dy; } } }

3．推广本章第一节给出的产生线段的整数Bresenham算法，去掉0≤m≤1和xl

dy(x??x)?b?ydxdyd2?y??y?(x??x)?bdxpi?dx(d1?d2)?2dy(x??x)?2(b?yi)dx??ydx d1?pi?1?2dy(x?2?x)?2(b?yi?1)dx??ydx?p?2dy?x?2(yi?1?yi)dx若pi?0，则yi?1?y??y，?p?2dy?x?2dx?y；若pi?0，则yi?1?y?0，

?p?2dy?x。

m 0≤m≤1 Δx Δy Δp(p≥0) >0 >0 <0 <0 -1≤m≤0 >0 <0 <0 >0 m>1 >0 >0 <0 <0 m<-1 >0 <0 <0 >0 Δp(p<0) ?p?2dy?2dx ?p?2dy ?p??2dy?2dx ?p??2dy ?p?2dy?2dx ?p??2dy ?p??2dy?2dx ?p?2dy ?p?2dx?2dy ?p?2dx ?p??2dx?2dy ?p??2dx ?p?2dx?2dy ?p??2dx ?p??2dx?2dy ?p?2dx void BresenhamLine(int x1,int y1,int x2,int y2) { int x,y,dx,dy,p,xmin,ymin,xmax,ymax,lx,ly,deltax,deltay; dx=x2-x1; dy=y2-y1; xmin=min(x1,x2); xmax=max(x1,x2); ymin=min(y1,y2); ymax=max(y1,y2); lx=xmax-xmin; ly=ymax-ymin; deltax= (dx==0)?0:(dx>0?1:-1); deltay= (dy==0)?0:(dy>0?1:-1);

x=x1; y=y1; if(lx>ly) { p=2*dy-dx; for(;x!=x2;x+=deltax) { SetPixel(x,y,RGB(0,0,0)); if(p>=0) { y+=deltay; p+=2*(ly-lx); } else { p+=2*ly; } } } else { p=2*dx-dy; for(;y!=y2;y+=deltay) { SetPixel(x,y,RGB(0,0,0)); if(p>=0) { x+=deltax; p+=2*(lx-ly); } else { p+=2*lx; } } } }

4．在本章第一节说明Bresenham算法如何选择下一个象素点位置的图2.3中，其实是假定了在当前选择的点是(x，y)时，真正直线与横坐标为x+1的直线的交点是在y到y+1之间。如果不是这样，而是下面两种情况：

(1)在y到y-1之间。例如从(0，0)到(7，2)的直线，在点(2，1)处向后。 (2)在y+1到y+2之间，例如从(0，0)到(7，5)的直线，在点(2，1)处向后。 试说明为什么对所列两种情况算法仍能正确地工作。

假定0≤m≤1，如图所示

d1

d2

d1

(x,y) d2

若当前象素点是(x,y)，则该直线与横坐标为x的直线的交点必落在(x,y-0.5)，(x,y+0.5)之间。又由于0≤m≤1，则该直线与横坐标为x+1的直线的交点必落在(x+1,y-0.5)，(x+1,y+1.5)之间。

情况(1)，交点在y-0.5到y之间，d1<0，d2>0，则Δ=Δx (d1-d2)<0，应取(x+1,y)；

情况(2)，交点在y+1到y+1.5之间，d1>0，d2<0，则Δ=Δx (d1-d2)>0，应取(x+1,y+1。 以上结果是根据算法而得到的，同时该结果也符合实际的绘制。 综上，当交点在在y-0.5到y之间，四舍五入取象素点(x+1,y)；当交点在在y+1到y+1.5之间，四舍五入取象素点(x+1,y+1)。

5．本章介绍的Bresenham直线算法是否可以利用对称性，通过判别量p同时从直线两端向中心画线?当0<Δy<Δx，Δx和Δy有最大公因数c，而且Δx／c为偶数和Δy／c为奇数时，两种方法画出的线是否一致?当Δx是2Δy的整数倍时两种方法画出的线是否一致。

求对称点的推导：设中点坐标为(xm,ym)，端点坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，已知一点坐标为(x1i,y1i)，其对称点坐标为(x2i,y2i)

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