宁夏中卫市海原县李俊中学2015年中考数学五模试卷(解析版)(5)

（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

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【考点】相似形综合题． 【专题】压轴题．

【分析】根据勾股定理求得AB=5cm．

（1）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；

（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S=（t﹣）2+最值的求法即可得到S的最小值．

【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm． ∴根据勾股定理，得

=5cm．

（0＜t＜2.5），则由二次函数

（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC时，解得t=；

②当△APM∽△ABC时，

=

，即

=

，

=

，即

=

，

解得t=0（不合题意，舍去）；

综上所述，当t=时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；

（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值． 如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC， ∴

=

，即

=

，

∴PH=t，

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∴S=S△ABC﹣S△BPN， =×3×4﹣×（3﹣t）?t， =（t﹣）2+∵＞0， ∴S有最小值． 当t=时，S最小值=

．

．

（0＜t＜2.5）．

答：当t=时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是

【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边．

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