初高中衔接教材含答案(8)

初高中数学衔接教材

[1]当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口方向 ； 顶点坐标为 ，对称轴为直线 ； 当 时，y随着x的增大而 ； 当 时，y随着x的增大而 ； 当 时，函数取最小值 ． 2

[2]当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口方向 ； 顶点坐标为 ，对称轴为直线 ； 当 时，y随着x的增大而 ； 当 时，y随着x的增大而 ； 当 时，函数取最大值 ．

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题． 2．二次函数的三种表示方式 [1]二次函数的三种表示方式： （1）．一般式： ； （2）．顶点式： ； （3）．交点式： ．

说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式： ①给出三点坐标可利用一般式来求；

②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．

③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1,0).(x2,0)时可利用交点式来求． 3．分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 【例题选讲】

2

例1 求二次函数y＝－3x－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

例2 某产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y(件)间关系如下表所示： x /元 130 150 165 y/件 70 50 35

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

例3 已知函数y?x,?2?x?a，其中a??2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

例4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）； （2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2； （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．

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22

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例5 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．

分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．

解：设每封信的邮资为y（单位：分），

?80,?160?? 则y是x的函数．这个函数的解析式为y??240,?320???400,x?(0,20]x?(20,40]x?(40,60] x?(60,80]x?(80,100]由上述的函数解析式，可以得到其图象如右图所示．

【巩固练习】 1．选择题：

2

（1）把函数y＝－(x－1)＋4的图象的顶点坐标是 （ ） （A）（－1，4） （B）（－1，－4） （C）（1，－4） （D）（1，4）

2

（2）函数y＝－x＋4x＋6的最值情况是（ ）

（A）有最大值6 （B）有最小值6 （C）有最大值10 （D）有最大值2

2

（3）函数y＝2x＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是（ ）

（A）－3≤y≤1 （B）－7≤y≤1 （C）－7≤y≤11 （D）－7≤y＜11 2．填空：

（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为 ．

（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 ． 3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1）已知二次函数的图象经过点A（0，?1），B（1，0），C（?1，2）； y(分) 400 （2）已知抛物线的顶点为（1，?3），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（?3，0），（5，0），且与y轴交于点（0，320 ?3）； 240 （4）已知抛物线的顶点为（3，?2），且与x轴两交点间的距离为4．

160

80

O 20 40 60 80 100 x(克)

图2.2－9

4．如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？

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5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．

D C （1）求函数y的解析式；

（2）画出函数y的图像； （3）求函数y的取值范围．

P A B 图2.2－10

★ 专题六 二次函数的最值问题

【要点回顾】

1．二次函数y?ax2?bx?c (a?0)的最值．

b4ac?b2二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a?0时，函数在x??处取得最小值，无最大值；

2a4ab4ac?b2当a?0时，函数在x??处取得最大值，无最小值．

2a4a2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

23．求二次函数在某一范围内的最值．如：y?ax?bx?c在m?x?n（其中m?n）的最值．

第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x?x0；

第二步：讨论：

[1]若a?0时求最小值或a?0时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于m即x0?m，即对称轴在m?x?n的左侧；②对称轴m?x0?n，即对称轴在m?x?n的内部； ③对称轴大于n即x0?n，即对称轴在m?x?n的右侧。 [2] 若a?0时求最大值或a?0时求最小值，需分两种情况讨论：

m?n，即对称轴在m?x?n的中点的左侧； 2m?n②对称轴x0?，即对称轴在m?x?n的中点的右侧；

2①对称轴x0?说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。

【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）y?2x?3x?5； （2）y??x?3x?4．

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22 初高中数学衔接教材

例2当1?x?2时，求函数y??x2?x?1的最大值和最小值．

例3当x?0时，求函数y??x(2?x)的取值范围．

例4当t?x?t?1时，求函数y?125x?x?的最小值(其中t为常数)． 22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

125x?x?的对称轴为x?1．画出其草图． 22(1) 当对称轴在所给范围左侧．即t?1时：

125 当x?t时，ymin?t?t?；

22解：函数y?(2) 当对称轴在所给范围之间．即t?1?t?1?0?t?1时：当x?1时，ymin?(3) 当对称轴在所给范围右侧．即t?1?1?t?0时：当x?t?1时，ymin125?1?1???3； 22151?(t?1)2?(t?1)??t2?3． 222?12?2t?3,t?0? 综上所述：y???3,0?t?1

?15?t2?t?,t?12?2

例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m?162?3x,30?x?54．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定

为多少最合适？最大销售利润为多少？

【巩固练习】

1．抛物线y?x?(m?4)x?2m?3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．

23．设a?0，当?1?x?1时，函数y??x?ax?b?1的最小值是?4，最大值是0，求a,b的值．

24．已知函数y?x?2ax?1在?1?x?2上的最大值为4，求a的值．

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5．求关于x的二次函数y?x2?2tx?1在?1?x?1上的最大值(t为常数)．

★ 专题七 不 等 式

【要点回顾】

1．一元二次不等式及其解法

[1]定义：形如 为关于x的一元二次不等式．

[2]一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)与二次函数y?ax2?bx?c (a?0)及一元二次方程

ax2?bx?c?0的关系(简称：三个二次)．

（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：

（1）将二次项系数先化为正数；(2) 观测相应的二次函数图象．

①如果图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根x1,x2(也可由根的判别式??0来判断) ．则

b,0)，此时对应的 2ab一元二次方程有两个相等的实数根xx?x2??

2a(也可由根的判别式??0来判断) ．则：

②如果图象与x轴只有一个交点(?

③如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程 没有实数根 (也可由根的判别式??0来判断) ．则：

（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是： (1) 化二次项系数为正；

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根x1,x2．那么“?0”型的解为x?x1或x?x2 (俗称两根之外)；“?0”型的解为x1?x?x2(俗称两根之间)；

b24ac?b2)?(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成ax?bx?c?a(x?，结合完全平方式为非负数 2a4a2 的性质求解．

2．简单分式不等式的解法

解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零. 3．含有字母系数的一元一次不等式

一元一次不等式最终可以化为ax?b 的形式． [1]当a?0时，不等式的解为：x?不等式的解为：x?b；[2]当a?0时，ab； a[3]当a?0时，不等式化为：0?x?b；① 若b?0，则不等式的解是全体实数；② 若b?0，则不等式无解．

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