初高中衔接教材含答案(7)

初高中数学衔接教材

例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) x?5x?24 (2) x?2x?15 (3) x2?xy?6y2

(4) (x2?x)2?8(x2?x)?12

解：（1）? ?24?(?3)?8,(?3)?8?5? x2?5x?24?[x?(?3)](x?8)?(x?3)(x?8) （2） ? ?15?(?5)?3,(?5)?3??2 ? x2?2x?15?[x?(?5)](x?3)?(x?5)(x?3)

（3）分析：把x2?xy?6y2看成x的二次三项式，这时常数项是?6y，一次项系数是y，把?6y分解成

22223y与?2y的积，而3y?(?2y)?y，正好是一次项系数．

解：x2?xy?6y2?x2?yx?62?(x?3y)(x?2y)

2(4) 由换元思想，只要把x?x整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式a?8a?12．

2解： (x2?x)2?8(x2?x)?12?(x2?x?6)(x2?x?2)?(x?3)(x?2)(x?2)(x?1) 例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 12x?5x?2 ；(2) 5x2?6xy?8y2 解：(1) 12x2?5x?2?(3x?2)(4x?1)

222

342?? 1

(2) 5x?6xy?8y?(x?2y)(5x?4y)

1 2y5?4y

?说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对 有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先 “凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 例5 （拆项法）分解因式x?3x?4

【巩固练习】

1．把下列各式分解因式： (1) ab(c2?d2)?cd(a2?b2)

(3) x?64

2．已知a?b?

3．现给出三个多项式:

4．已知a?b?c?0，求证：a?ac?bc?abc?b?0．

★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系

【要点回顾】

３１

3223432

(2) x?4mx?8mn?4n

22 (4) x?11x?31x?21

32

(5) x?4xy?2xy?8y

32232,ab?2，求代数式a2b?2a2b2?ab2的值． 31211x?x?1，x2?3x?1，x2?x，请选择其中两个进行加法运算，并因式分解. 222 初高中数学衔接教材

1．一元二次方程的根的判断式

一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)，用配方法将其变形为： ． 由于可以用b?4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b?4ac叫做 一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的根的判别式，表示为：??b?4ac

2

对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有

[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根： ； [2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： ； [3]当Δ 0时，方程没有实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系

定理：如果一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的两个根为x1,x2，那么：x1?x2?222,x1x2?

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”． 上述定理成立的前提是??0．

2

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

222

所以，方程x＋px＋q＝0可化为 x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x＋px＋q＝0的两根，

2

所以，x1，x2也是一元二次方程x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有

2

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

【例题选讲】

例1 已知关于x的一元二次方程3x?2x?k?0，根据下列条件，分别求出k的范围：

（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根；（4）方程无实数根．

例2 已知实数x、y满足x2?y2?xy?2x?y?1?0，试求x、y的值．

例3 若x1,x2是方程x?2x?2007?0的两个根，试求下列各式的值：

例4 已知x1,x2是一元二次方程4kx?4kx?k?1?0的两个实数根． (1) 是否存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??(2) 求使

222(1) x12?x22； (2)

11?； (3) (x1?5)(x2?5)； x1x2(4) |x1?x2|．

3成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 2x1x2??2的值为整数的实数k的整数值． x2x132解：(1) 假设存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??成立．∵ 一元二次方程4kx?4kx?k?1?0的两个

2?4k?0?k?0，又x1,x2是一元二次方程4kx2?4kx?k?1?0 实数根，∴ ?2???(?4k)?4?4k(k?1)??16k?0?x1?x2?1?的两个实数根，∴ ?k?1

x1x2??4k?

３２

初高中数学衔接教材

∴ (2x1?x2)(x1?2x2)?2(x12?x22)?5x1x2?2(x1?x2)2?9x1x2 ??∴不存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??k?939???k?，但k?0． 4k253成立． 2x1x2x12?x22(x1?x2)24k4(2) ∵ ??2??2??4??4??x2x1x1x2x1x2k?1k?1∴ 要使其值是整数，只需k?1能被4整除，故k?1??1,?2,?4，注意到k?0，要使的实数k的整数值为?2,?3,?5．

【巩固练习】

x1x2??2的值为整数 x2x111?的值为( ) x1x219 A．2 B．?2 C． D．

2222．若t是一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的根，则判别式??b?4ac和完全平方式M?(2at?b)2的

1．若x1,x2是方程2x?6x?3?0的两个根，则

2关系是( )

A．??M

B．??M

C．??M

D．大小关系不能确定

3．设x1,x2是方程x2?px?q?0的两实根，x1?1,x2?1是关于x的方程x2?qx?p?0的两实根， 则p= ，q= ．

4．已知实数a,b,c满足a?6?b,c2?ab?9，则a= ，b= _____ ，c= _____ ． 5．已知关于x的方程x?3x?m?0的两个实数根的平方和等于11，求证：关于x的方程

2(k?3)x2?kmx?m2?6m?4?0有实数根．

6．若x1,x2是关于x的方程x?(2k?1)x?k?1?0的两个实数根，且x1,x2都大于1．

★

专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数

【要点回顾】

1．平面直角坐标系

[1] 组成平面直角坐标系。 叫做x轴或横轴， 叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点o称为直角坐标系的原点。

对称点或对称直线方程

３３

对称点的坐标 (1) 求实数k的取值范围；(2) 若

22x11?，求k的值． x22 初高中数学衔接教材

[2] 平面直角坐标系内的对称点：

2．函数图象

[1]一次函数： 称y是x的一次函数，记为：

x轴 y轴 原点 点(a,b) [2] 正比例函数的图象与性质：

直线x?a 函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是 的一条直线，

当 时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而 ；

直线y?b 当 时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而 ． 直线y?x [3] 一次函数的图象与性质：函数y?kx?b(k、b是常数，k≠0)的图象是

y?kx?b(k、b是常数，k≠0)特别的，当b=0时，称y是x的正比例函数。

过点(0，b)且与直线y=kx平行的一条直线.设y?kx?b(k≠0)，则当 直线y??x 时，y随x的增大而 ；当 时， y随x的增大而 ． [4]反比例函数的图象与性质： 函数y?

k

(k≠0)是双曲线，当 时，图象在第一、第三象限， x

在每个象限中，y随x的增大而 ；当 时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而 ．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y?x与y??x；又是中心对称图形，对称中心是原点． 【例题选讲】

例1 已知A?2,y1?、B?x2,?3?，根据下列条件，求出A、B点坐标．

(1) A、B关于x轴对称；(2) A、B关于y轴对称；(3) A、B关于原点对称．

例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。

例3如图，反比例函数y?

k

，3)，B(n，?1)两点． 的图象与一次函数y?mx?b的图象交于A(1x

y k33，3)在y?的图象上，?k?3，?y? 又?B(n，?1)在y?的图象上，解：（1）?A(1A xxx?3?m?b?n??3，即B(?3，?1) ，?解得：m?1，b?2， 反比例函数的解析式为O x ?1??3m?b，B ?3y?，一次函数的解析式为y?x?2，

图（12） x（2）从图象上可知，当x??3或0?x?1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

一次函数的值。

【巩固练习】

1．函数y?kx?m与y?m(m?0)在同一坐标系内的图象可以是（ ） x ３４

初高中数学衔接教材

O A． y x O B． y x O C． y x O D． y x

2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知AB?6，AD?22， 求B,C,D点的坐标．

3．如图，已知直线y?（1）求k的值；

1kx与双曲线y?(k?0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4． 2x y A k(k?0)于P，Q两点（P点在第一象限）， x若由点P为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

（2）过原点O的另一条直线l交双曲线y?

★

专题五 二次函数

B y O x bx＝－ 2ay A(?b4ac?b2,) 2a4aO x 2O x＝－x b4ac?b【要点回顾】 ) A(?,2

2a4a1． 二次函数y＝ax＋bx＋c的图像和性质 22

问题[1] 函数y＝ax与y＝x的图象之间存在怎样的关系？

22

问题[2] 函数y＝a(x＋h)＋k与y＝ax的图象之间存在怎样的关系？

2

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：

b 2abbb2b2b2b2?4ac2

?a(x?)?由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋x)＋c＝a(x＋x＋2)＋c－，

aa4a4a2a4a2

2

所以，y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax的图象作左右平移、上下平移得到的，

2

二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

３５

22

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