初高中衔接教材含答案(3)

初高中数学衔接教材

x1?1?1?a， x2?1?1?a；

②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．

说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

?b?b2?4ac?b?b2?4ac 若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 x1?，x2?，

2a2a2

?b?b2?4ac?b?b2?4ac?2bb则有 x1?x2?????；

2a2a2aa2?b?b2?4ac?b?b2?4acb2?(b?4ac)4acc x1x2????2?． 22a2a4a4aa

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝?bc，x1·x2＝．这一关系也被称为韦aa达定理．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

22

所以，方程x＋px＋q＝0可化为 x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 例2 已知方程5x?kx?6?0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．

解法一：∵2是方程的一个根，

∴5×22＋k×2－6＝0， ∴k＝－7．

所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－所以，方程的另一个根为－

23． 53，k的值为－7． 563，∴x1＝－． 55解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－

例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根

的积大21，求m的值．

分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．

解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4． ∵x12＋x22－x1·x2＝21，

2

∴(x1＋x2)－3 x1·x2＝21，

即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得 m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17．

１１

3k）＋2＝－，得 k＝－7． 553所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．

5由 （－

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当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．

（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．

解法一：设这两个数分别是x，y， 则 x＋y＝4， ①

xy＝－12． ②

由①，得 y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即 x2－4x－12＝0， ∴x1＝－2，x2＝6．

∴??x1??2,?x2?6, 或?

?y1?6,?y2??2.因此，这两个数是－2和6．

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2－4x－12＝0的两个根． 解这个方程，得 x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求| x1－x2|的值； （2）求

11?的值； （3）x13＋x23． 22x1x2解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，

∴x1?x2??

53，x1x2??． 22（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝(?)?4?(?) ＝

522324925＋6＝，

44 ∴| x1－x2|＝

7． 221212

（2）

x?x211??x12x22x?x22（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]

5325(?)2?2?(?)?3(x1?x2)?2x1x237224． ????329(x1x2)29(?)242 ＝(－

553215)×[(－)2－3×(?)]＝－． 2228 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为

了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

?b?b2?4ac?b?b2?4ac设x1和x2分别是一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），则x1?，x2?，

2a2a2

?b?b2?4ac?b?b2?4ac2b2?4acb2?4ac???∴| x1－x2|＝ ?． ?2a2a2a|a||a|于是有下面的结论：

１２

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若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝?（其中Δ＝b2－4ac）． |a|今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围． 解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2＝a－4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②

17

由①得 a＜4，由②得 a＜ ．

4

∴a的取值范围是a＜4．

练 习

1．选择题：

（1）方程x?23kx?3k?0的根的情况是（ ）

（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）

221111 （B）m＞－ （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0 4444112．填空:（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则?＝ ．

x1x2 （A）m＜

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．

3．已知a2?8a?16?|b?1|?0，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？ 4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．

习题2.1 A 组

1．选择题:

（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为?7；④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之3积为0．

其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）

（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1

2．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．

（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ． （4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相

等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

B 组

1．选择题: 若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为 （ ）

（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0

１３

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2．填空:

（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ．

（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ． 3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围． 4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求： （1）| x1－x2|和

5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．

C 组

1．选择题：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长

等于（ ）

（A）3 （B）3 （C）6 （D）9 （2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则

x1?x2；（2）x13＋x23． 2（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ ）

x1x2?的值为（ ） x2x13 （A）6 （B）4 （C）3 （D）

2 （A）α＋β≥

11 （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1 22c（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是 （ ）

4 （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝ ． 3． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－（2）求使

3成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； 2x1x2?－2的值为整数的实数k的整数值； x2x1x（3）若k＝－2，??1，试求?的值．

x2m2?0． 4．已知关于x的方程x?(m?2)x?42（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2． 5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．

2.1 一元二次方程

练习

1． （1）C （2）D 2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x2＋2x－3＝0 3．k＜4，且k≠0 4．－1 提示：(x1－3)( x2－3)＝x1 x2－3(x1＋x2)＋9

习题2．1 A 组

1． （1）C （2）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程没有实数根；

对于④，其两根之和应为－

2． （3）C 提示：当a＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意． 3１４

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2． （1）2 （2）3．当m＞－

17 （3）6 （3）3 411，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两个相等的实数根； 441 当m＜－时，方程没有实数根．

44．设已知方程的两根分别是x1和x2，则所求的方程的两根分别是－x1和－x2， ∵x1＋x2＝7，x1x2＝－1，

∴(－x1)＋(－x2)＝－7，(－x1)×(－x2)＝x1x2＝－1， ∴所求的方程为y2＋7y－1＝0．

B组

1．C 提示：由于k=1时，方程为x2＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1． 2．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006．

32232222

（2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a＋ab＋ab＋b＝a(a＋b)＋b(a＋b)＝(a＋b)( a＋b)＝(a

＋b)[( a＋b) 2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．

22

3．（1）∵Δ＝(－k)－4×1×(－2)＝k＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． （2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．

3abc?b3b2?4acx1?x2b33

4．（1）| x1－x2|＝，＝?；（2）x1＋x2＝． 3a|a|22a5．∵| x1－x2|＝16?4m?24?m?2，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3．

C组 1．（1）B （2）A （3）C 提示：由Δ≥0，得m≤

（4）B 提示：∵a，b，c是ΔABC的三边长，∴a＋b＞c，∴Δ＝(a＋b)2－c2＞0． 2．（1）12 提示：∵x1＋x2＝8，∴3x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋x1＝2×8＋x1＝18，∴x1＝2，∴x2＝6，∴m＝x1x2＝

12． 3．（1）假设存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－

1，∴α＋β＝2(1－m)≥1． 2∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，∴k≠0，且Δ＝16k2－16k(k+1)=－16k≥0，∴k＜0．

3成立． 29(k?1)k?13，∴ (2x1－x2)( x1－2 x2)＝2 x12－51x2＋2 x22＝2(x1＋x2)2－9 x1x2＝2－＝－，

4k4k29(k?1)793即＝，解得k＝，与k＜0相矛盾，所以，不存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立．

4k522x1x2x12?x22(x1?x2)2?2x1x2(x1?x2)2?－2＝（2）∵?2??2??4 x2x1x1x2x1x2x1x24k4k?4(k?1)4?4??? ＝， k?1k?1k?1xx∴要使1?2－2的值为整数，只须k＋1能整除4．而k为整数，∴k＋1只能取±1，±2，±4．

x2x1∵x1＋x2＝1，x1x2＝

又∵k＜0，∴k＋1＜1， ∴k＋1只能取－1，－2，－4，∴k＝－2，－3，－5．

x1x2?－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3和－5． x2x11（3）当k＝－2时，x1＋x2＝1，① x1x2＝， ②

81xx2 ①2÷②，得1?2＋2＝8，即???6，∴??6??1?0， ∴??3?22．

?x2x1∴能使

１５

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