初高中衔接教材含答案(2)

初高中数学衔接教材

∴3x2?5xy?3y2?3(x?y)2?11xy?3?102?11?289．

练 习

1．填空： （1）1?3＝__ ___；

1?32（2）若(5?x)(x?3)?(x?3)5?x，则x的取值范围是_ _ ___；

（3）424?654?396?2150?__ ___； （4）若x?5x?1?x?1x?1?x?1，则??______ __． 2x?1?x?1x?1?x?12．选择题：等式x成立的条件是 （ ） x?2（A）x?2 （B）x?0 （C）x?2 （D）0?x?2

x?x?2a2?1?1?a23．若b?，求a?b的值．

a?14．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．

1.1.４．分式

1．分式的意义

形如

AAA的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： BBBAA?MAA?M??； ． BB?MBB?M 上述性质被称为分式的基本性质．

am?n?p 2．繁分式: 像b，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

2mc?dn?p5x?4AB??例1 若，求常数A,B的值．

x(x?2)xx?2ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4???解： ∵?，

xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)?A?B?5, ∴? 解得 A?2,B?3．

?2A?4,111??例2 （1）试证：（其中n是正整数）；

n(n?1)nn?1111???? （2）计算：； 1?22?39?101111?????． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有

2?33?4n(n?1)211(n?1)?n1??（1）证明：∵?，

nn?1n(n?1)n(n?1)

６

初高中数学衔接教材

111??（其中n是正整数）成立．

n(n?1)nn?11111111119?????(1?)?(?)???(? ?)1?＝． （2）解：由（1）可知

10101?22?39?1022391011111111111) ＝?（3）证明：∵ ＝(?)?(?)???(?， ????2n?12334nn?12?33?4n(n?1) ∴

1

又n≥2，且n是正整数，则 一定为正数，

n＋1

1111

∴＜ ． ????2?33?4n(n?1)2例3 设e?解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0，

∴(2e－1)(e－2)＝0，

1

∴e＝ ＜1，舍去；或e＝2．

2

∴e＝2．

练 习

c，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值． a111? (?)；

nn?2n(n?2)x2x?y2?，则＝（ ） 2．选择题：若

yx?y3654 （A）１ （B） （C） （D）

545x?y223．正数x,y满足x?y?2xy，求的值．

x?y1111???...?4．计算． 1?22?33?499?1001．填空题：对任意的正整数n，

习题1．1

A 组

1．解不等式： (1) x?1?3； (2) x?3?x?2?7 ； (3) x?1?x?1?6．

332．已知x?y?1，求x?y?3xy的值．

3．填空：（1）(2?3)(2?3)＝________；

22 （2）若(1?a)?(1?a)?2，则a的取值范围是________；

1819（3）11111?????________．

1?22?33?44?55?6

B 组

3a2?ab11? ； 1．填空： （1）a?，b?，则223a?5ab?2b23x2?3xy?y222 （2）若x?xy?2y?0，则? ；

x2?y22．已知：x?

yy11,y?，求的值． ?23x?yx?y７

初高中数学衔接教材

C 组

1．选择题：

?b??a，则 （ ）

（A）a?b （B）a?b （C）a?b?0 （D）b?a?0

（1）若?a?b?2ab?1等于 （ ） a（A）?a （B）a （C）??a （D）?a 1122．解方程2(x?2)?3(x?)?1?0．

xx1111?????3．计算：． 1?32?43?59?111111

????4．试证：对任意的正整数n，有＜ ．

1?2?32?3?4n(n?1)(n?2)4

（2）计算a?

1.1.1．绝对值： 1．（1）?5；?4 （2）?4；?1或3 2．D 3．3x－18 1.1.2．乘法公式：1．（1）a?13111b （2）, （3）4ab?2ac?4bc 224 2．（1）D （2）A

1.1.3．二次根式：1． （1）3?2 （2）3?x?5 （3）?86 （4）5．

2．C 3．1 4．＞

991

1.1.4．分式： 1． 2．B 3． 2?1 4．

2100习题1．1 A组：1．（1）x??2或x?4 （2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或x＞3 2．1 3．（1）2?3 （2）?1?a?1 （3）6?1 351

B组：1．（1） （2），或－ 2．4．

572136,x2?2 3． 2551111?[?] 4．提示：

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)C组：1．（1）C （2）C 2．x1?

1．2 分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法 例1 分解因式：

（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；

（3）x?(a?b)xy?aby； （4）xy?1?x?y． 解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有

x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 1 x x 1 －2 －1 －ay －1

1 x x 1 6 －2 －by －2

图1．2－1 图1．2－3 图1．2－4 图1．2－2

８

22 初高中数学衔接教材

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示 （如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得 x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． x

（3）由图1．2－4，得 x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by) （4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：

（1）x?9?3x?3x； （2）2x2?xy?y2?4x?5y?6． 解： （1）x?9?3x?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3) =(x?3)(x2?3)．

或x?9?3x?3x＝(x3?3x2?3x?1)?8＝(x?1)3?8＝(x?1)3?23 ＝[(x?1)?2][(x?1)2?(x?1)?2?22]＝(x?3)(x2?3)．

（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6=2x2?(y?4)x?y2?5y?6 =2x?(y?4)x?(y?2)(y?3)=(2x?y?2)(x?y?3)． 或 2x?xy?y?4x?5y?6=(2x?xy?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y?2)(x?y?3)． 3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

若关于x的方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式ax?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2).

例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：

（1）x?2x?1； （2）x2?4xy?4y2．

解： （1）令x?2x?1=0，则解得x1??1?2，x2??1?2，

∴x?2x?1=?x?(?1?2)??x?(?1?2)? =(x?1?2)(x?1?2)．

222－1 1

y

图1．2－5

3322322222222????22（2）令x?4xy?4y=0，则解得x1?(?2?22)y，x1?(?2?22)y，

22 ∴x?4xy?4y=[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]．

练 习

1．选择题：多项式2x?xy?15y的一个因式为 （ ）

（A）2x?5y （B）x?3y （C）x?3y （D）x?5y 2．分解因式：

（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；

（3）x2－2x－1； （4）4(x?y?1)?y(y?2x)．

习题1．2

1．分解因式：

42 （1） a?1； （2）4x?13x?9；

322（3）b?c?2ab?2ac?2bc； （4）3x?5xy?2y?x?9y?4． 2．在实数范围内因式分解：

2（1）x?5x?3 ； （2）x?22x?3；

22222（3）3x?4xy?y； （4）(x?2x)?7(x?2x)?12． 3．?ABC三边a，b，c满足a?b?c?ab?bc?ca，试判定?ABC的形状． 4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．

1.2分解因式

1． B

2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）(2a?b)(4a?2ab?b)

９

2222222222 初高中数学衔接教材

（3）(x?1?2)(x?1?2) （4）(2?y)(2x?y?2)．

习题1．2

21．（1）?a?1?a?a?1 （2）?2x?3??2x?3??x?1??x?1?

?? （3）?b?c??b?c?2a? （4）?3y?y?4??x?2y?1?

?5?13??5?13?2．（1）?x???????x??； （2）x?2?5x?2?5； 22?????2?7??2?7?y?? （3）3?x????x?3y??； （4）?x?3?(x?1)(x?1?5)(x?1?5)． 3????3．等边三角形 4．(x?a?1)(x?a)

????

2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式

b2b2?4ac)?我们知道，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为(x?． ① 2a4a22

因为a≠0，所以，4a2＞0．于是

（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝

?b?b2?4ac；

2a（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x?b； 2ab2)一定大于或等于零，因此，2a原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

?b?b2?4ac（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝；

2ab（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－；

2a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

22

（1）x－3x＋3＝0； （2）x－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 所以，

①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；

②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1． （3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以

①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根

１０

a?a2?4a?a2?4x1?， x2?．

22

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