初高中衔接教材含答案

初高中数学衔接教材

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初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

1 绝对值：

⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

?a(a?0)?⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即a??0(a?0)

??a(a?0)?⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小

⑷两个绝对值不等式:|x|?a(a?0)??a?x?a；|x|?a(a?0)?x??a或x?a 2 乘法公式：

⑴平方差公式：a?b?(a?b)(a?b) ⑵立方差公式：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2) ⑶立方和公式：a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2) ⑷完全平方公式：(a?b)?a?2ab?b，

22222(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc

⑸完全立方公式：(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

3 分解因式：

⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程：

⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax?b解的讨论 ①当a?0时，方程有唯一解x?b； a②当a?0，b?0时，方程无解

③当a?0，b?0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组：

（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。 6 不等式与不等式组 （1）不等式：

①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 （2）不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 １

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（3）一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 （4）一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 7 一元二次方程：ax2?bx?c?0(a?0) ①方程有两个实数根???b?4ac?0

2???0???0??②方程有两根同号?? ③方程有两根异号?? ccxx??0xx??01212??aa??bc22④韦达定理及应用：x1?x2??,x1x2? , x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2,

aa?b2?4ac, x3?x3?(x?x)(x2?xx?x2)?(x?x)?(x?x)2?3xx?

x1?x2?(x1?x2)?4x1x2??1212112212?1212?aa28 函数

（1）变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

（2）一次函数：①若两个变量y,x间的关系式可以表示成y?kx?b（b为常数，k不等于0）的形式，则称y是x的一次函数。②当b=0时，称y是x的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质

①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当k?0， b?O，则经2、3、4象限；当k?0，b?0时，则经1、2、4象限；当k?0， b?0时，则经1、3、4象限；当k?0， b?0时，则经1、2、3象限。

④当k?0时，y的值随x值的增大而增大，当k?0时，y的值随x值的增大而减少。 （4）二次函数：

bb24ac?b2, )?①一般式：y?ax?bx?c?a(x?(a?0)，对称轴是x??2a2a4ab4ac?b2（－,)； 顶点是

2a4a2②顶点式：y?a(x?m)?k(a?0)，对称轴是x??m,顶点是??m,k?；

2③交点式：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)，其中（x1,0），（x2,0）是抛物线与x轴的交点 （5）二次函数的性质

①函数y?ax?bx?c(a?0)的图象关于直线x??②a?0时，在对称轴 （x??2b对称。 2abb）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴（x??）右侧；y的2a2ab4ac?b2值随x值的增大而增大。当x??时，y取得最小值

2a4abb③a?0时，在对称轴 （x??）左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴（x??）右侧；y的

2a2ab4ac?b2值随x值的增大而减少。当x??时，y取得最大值

2a4a

２

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1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

?a,a?0,?|a|??0,a?0,

??a,a?0.?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 例1 解不等式：x?1?x?3＞4．

|x－3|

解法一：由x?1?0，得x?1；由x?3?0，得x?3；

P C A ①若x?1，不等式可变为?(x?1)?(x?3)?4，即?2x?4＞4，B D 解得x＜0， x 0 1 3 4

又x＜1，∴x＜0；

|x－1|

②若1?x?2，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4，即1＞4，

图1．1－1

∴不存在满足条件的x；

③若x?3，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4，即2x?4＞4， 解得x＞4． 又x≥3，∴x＞4．

综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4． －1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．

所以，不等式x?1?x?3＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．

由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧． 所以，x＜0，或x＞4．

练 习

1．填空：（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.

（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若1?c?2，则c＝________.

2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）

（A）若a?b，则a?b （B）若a?b，则a?b （C）若a?b，则a?b （D）若a?b，则a??b 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a?b； （2）完全平方公式 (a?b)?a?2ab?b． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 (a?b)(a?ab?b)?a?b； （2）立方差公式 (a?b)(a?ab?b)?a?b；

（3）三数和平方公式 (a?b?c)?a?b?c?2(ab?bc?ac)； （4）两数和立方公式 (a?b)?a?3ab?3ab?b； （5）两数差立方公式 (a?b)?a?3ab?3ab?b．

３

332233322322222233223322222x 解法二：如图1．1－1，x?1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x

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对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

22226242解法一：原式=(x?1)??(x?1)?x?? =(x?1)(x?x?1) =x?1．

解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1) =(x3?1)(x3?1) =x?1． 例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a?b?c的值． 解： a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8．

练 习

1．填空：

2226121211a?b?(b?a)（ ）； 9423（2）(4m? )2?16m2?4m?( )；

（1）

（3）(a?2b?c)2?a2?4b2?c2?( )． 2．选择题：

1mx?k是一个完全平方式，则k等于 （ ） 211122（A）m （B）m2 （C）m2 （D）m

431622（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值 （ ）

（1）若x?2 （A）总是正数 （B）总是负数

（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一般地，形如a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例

22如3a?a2?b?2b，a?b等是无理式，而2x?22x?1，x2?2xy?y2，a2等是有理式． 21．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，3?6与3?6，23?32与23?32，等等． 一般地，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b与ax?b互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运

算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

?a,a?0,222．二次根式a的意义: a?a??

?a,a?0.?例1 将下列式子化为最简二次根式：

6（1）12b； （2）a2b(a?0)； （3）4xy(x?0)．

解： （1）12b?23b； （2）ab?a

2b?ab(a?0)；

４

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（3）4xy?2x63y??2x3y(x?0)．

例2 计算：3?(3?3)． 解法一： 解法二：

3?(3?3?(3?3＝)3＝)33?333?3＝＝3?133?33(3?1)3?(3?3) ＝＝＝．

29?36(3?3)(3?3)13?133?1＝ ＝＝．

23?13(3?1)(3?1)(3?1)2和22－6. 6?4例3 试比较下列各组数的大小：

（1）12?11和11?10； （2）解： （1）∵12?11?

12?11(12?11)(12?11)1， ??112?1112?1111?10(11?10)(11?10)1， ??111?1011?10又12?11?11?10， ∴12?11＜11?10．

11?10?22－6(22－6)(22+6)2??, 122+622+6 （2）∵22－6? 又 4＞22， ∴6＋4＞6＋22， ∴2＜22－6. 6?4例4 化简：(3?2)2004?(3?2)2005．

解：(3?2)2004?(3?2)2005＝(3?2)2004?(3?2)2004?(3?2) ＝?(3?2)?(3?2)?2004???(3?2)＝12004?(3?2)

＝3?2．

1?2(0?x?1)． 2x121 解：（1）原式?5?45?4 （2）原式=(x?)?x?，

xx2例 5 化简：（1）9?45； （2）x?(5)2?2?2?5?22 ∵0?x?1，

12 ?(2?5) ∴?1?x，

x1 ?2?5?5?2． 所以，原式＝?x．

x3?23?222 例 6 已知x?，求3x?5xy?3y的值 ． ,y?3?23?2 ? 解： ∵x?y?3?23?2??(3?2)2?(3?2)2?10，

3?23?2xy?

3?23?2??1，

3?23?2５

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