初高中衔接教材含答案(6)

初高中数学衔接教材

?1?a2(-2?a?1)? (2)若a＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x＝1时，该函数取最小值 n＝-2a+2. 综上,ymin=?4a?5(a?-2)

??2a?2(a?1)?

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法 练 习

1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解．

5?x?,?x1?15,?x2??20,?x1?5,?x2??2,?x1?2,?x2?2,??32．（1）? （2）? （3） （4）? ? ???y?20,y??15;y??2,y?5;y?2,y??2.?1?2?1?2?1?2?y??4.?3?2.3.2 一元二次不等式解法 练 习

4

1．（1）x＜－1，或x＞ ； （2）－3≤x≤4； （3）x＜－4，或x＞1； （4）x＝4．

3

2．不等式可以变为(x＋1＋a)( x＋1－a)≤0，

（1）当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a；

（2）当－1－a＝－1＋a，即 a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1； （3）当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a．

综上，当a＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a； 当a＝0时，原不等式的解为x＝－1； 当a＜0时，原不等式的解为－1＋a≤x≤－1－a．

习题2．3 A 组

1024??x?,x?,???x1?2,?x1?0,?2?2351．（1）? ? （2）? ?

412y?0,y?0,?1?1?y??.?y?.22??53????x3??3,???x1?3,??x2?3,??x4??3,?x1?3?2,??x2?3?2, （3）? （4） ?????????y1?1,??y2??1,??y4??1.?y3?1,?y1?3?2,??y2?3?2;2．（1）无解 （2）?2323?x? （3）1－2≤x≤1＋2 （4）x≤－2，或x≥2 33B 组

2221．消去y，得4x?4(m?1)x?m?0． 当??16(m?1)?16m?0,即m?21时，方程有一个实数解． 21?1?x?, 将m?代入原方程组，得方程组的解为?4

2??y?1.2．不等式可变形为(x－1)(x－a)＜0．则当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a； 当a＝1时，原不等式的无实数解；

当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1．

C 组

bc

1．由题意，得 －1和3是方程2x2＋bx－c＝0的两根， ∴－1＋3＝－ ，－1×3＝－ ， 即b＝－4，c＝6．

221

∴等式bx2＋cx＋4≥0就为－4 x2＋6x＋4≥0，即2 x2－3x－2≤0， ∴－ ≤x≤2．

2

2

mm

2．∵y＝－x2＋mx＋2＝－(x－ )2＋2＋ ，

24

mm2mm

3． ∴当0≤ ≤2，即0≤m≤4时，k＝2＋ ；当 ＜0，即m＜0时，k＝2；当 ＞2，即m＞4时，k＝2m－2．

2422

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m?0,?2,?2?m?2,0?m?4, ∴k???4m?4.??2m?2,

衔接知识点的专题强化训练

★ 专题一 数与式的运算

【要点回顾】 1．绝对值

[1]绝对值的代数意义： ．即|a|? ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:|x|?a(a?0)?；|x|?a(a?0)?．

2．乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1](a?b?c)2?[公式2][公式3]

说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式

[1]式子a(a?0)叫做二次根式，其性质如下：

?a3?b3(立方和公式) ?a3?b3 (立方差公式)

b? ． a[2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a的平方根，记作x??a(a?0)，

2(1) (a)2? ；(2) a? ；(3) ab? ； (4) ２７

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其中a(a?0)叫做a的算术平方根．

[3]立方根的概念： 叫做a的立方根，记为x?4．分式

[1]分式的意义 形如

3a AA的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式．当M≠0时， BBA 分式具有下列性质： （1） ； （2） ．

BAAm?n?p[2]繁分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，

2mBBn?p说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化 因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的 过程

【例题选讲】

例1 解下列不等式：（1）x?2?1 （2）x?1?x?3＞4．

11111例2 计算： （1）(x2?2x?1)2 (2）(m?n)(m2?mn?n2)

5225104342 （3）(a?2)(a?2)(a?4a?16)（4）(x2?2xy?y2)(x2?xy?y2)2

2例3 已知x?3x?1?0，求x?31的值． x3

例4 已知a?b?c?0，求

111111a(?)?b(?)?c(?)的值． bccaab

例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： （1）

例6 设x?

２８

311x22? （4） 2?x3?8x （2） (1?x)?(2?x) (x?1) （3） ab22?32?32?333，求x?y的值． ,y?2?32?3 初高中数学衔接教材

x2?3x?96xx?1x??例7 化简：（1） （2） 221?xx?279x?x6?2xx?1x?xxxxxx(x?1)x?1（1）解法一：原式= ???2??21?x(1?x)?xxx?x?xxxx?2x?x?x?1(x?1)(x?1)x?1x?1xxxxx(x?1)x?1 解法二：原式= ???2?(1?x)?xx(1?x)xx?x?xxx?x?2x?1x?1x?1(x?)?xxx2?3x?96xx?116x?1（2）解：原式= ?????22(x?3)(x?3x?9)x(9?x)2(3?x)x?3(x?3)(x?3)2(x?3)

2(x?3)?12?(x?1)(x?3)?(x?3)23?x ???2(x?3)(x?3)2(x?3)(x?3)2(x?3) 说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；

(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式． 【巩固练习】

1．

11x2?xy?y2,y?解不等式 x?3?x?2?7 2.设x?，求代数式的值．

x?y3?23?2

2．

aba2?b2当3a?ab?2b?0(a?0,b?0)，求??的值．

baab22

3． 设x?5?142，求x?x?2x?1的值． 5.计算(x?y?z)(?x?y?z)(x?y?z)(x?y?z) 2

6．化简或计算：

(3)

(1) (18?411321 (2) 2 ?)??2?(2?5)2?2332?35?2xx?xyx?xy?yb?ababa?b (4) (a?)?(??) ?xy?y2a?bab?bab?aabxx?yy２９

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★ 专题二 因式分解

【要点回顾】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒 等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有 公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 1．公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式： ；[2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ;[4](a?b?c)2?[5]a3?b3?(立方和公式); [6] a3?b3?;

(立方差公式).

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解． 2．分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如 ma?mb?na?nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组 来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式 3．十字相乘法

（1）x?(p?q)x?pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和． ∵x?(p?q)x?pq?x2?px?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q)， ∴x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． （2）一般二次三项式ax?bx?c型的因式分解

由a1a2x2?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2)我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c分解 成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成a2?c2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2?a2c1，如果它正好等于

a1c1222ax2?bx?c的一次项系数b，那么ax2?bx?c就可以分解成(a1x?c1)(a2x?c2)，其中a1,c1位于上一行，

a2,c2位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式 能否用十字相乘法分解．

4．其它因式分解的方法: （1）配方法 （2）拆、添项法

【例题选讲】

例1 （公式法）分解因式：(1) 3ab?81b；(2) a?ab

例2 （分组分解法）分解因式：（1）ab(c?d)?(a?b)cd （2）2x?4xy?2y?8z

３０

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