初高中衔接教材含答案(5)

初高中数学衔接教材

由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？

练 习

1．选择题:

（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ）

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定

1

（2）函数y＝－ (x＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）

2

（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2) 2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a

(a≠0) ．

（2）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．

2.2.3 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换 问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． 例1 求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式． 解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为 y＝2(x－1)2－1， 其顶点坐标为(1，－1)． （1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x－3)2－2． （2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x＋1)2＋2． 2．对称变换

y 问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变B(1，3) 换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行y＝1 对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是

O x 要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．

A(1,－1) 例2 求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得

２１

图2.2－8

??22?a?b?c,? 解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8． ??8?c,?8?4a?2b?c,? 初高中数学衔接教材

到图象对应的函数解析式：（1）直线x＝－1；（2）直线y＝1． 解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于y x＝－1 直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．

由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，1)，

所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17． O x 2

（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x－4x＋1的图象关于直A(1,－1) A1(－3,－1) 线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．

图2.2－7

由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，故二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1． 二、分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象． 分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）． 解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数． 这个函数的解析式为

?80,x??160x??? y??240,x??320x????400,x?

(0,20](20,40]940,8 0](60,80](80,100]由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．

例4如图2.2-10所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．

（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像；（3）求函数y的取值范围． D C 分析：要对点P所在的位置进行分类讨论．

1AP?BC＝x； 211②当点P在线段BC上移动，即2＜x＜4时，y＝PC?AB＝(4?x)?2＝4－x；

2211③当点P在线段CD上移动，即4＜x≤6时，y＝PC?AD＝(x?4)?2＝x－4；

22解：（1）①当点P在线段AB上移动，即0＜x≤2时，y＝

P

A 图2.2－10

B (0?x?2)?x ?4?x(2?x?4)1?④当点P在线段DA上移动，即6＜x＜8时，y=AP?DC=8-x. 综上y=?

2?x?4(4?x?6)??8?x(6?x?8)

2.3 方程与不等式

２２

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2.3.1 二元二次方程组解法

方程 x2?2xy?y2?x?y?6?0是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中x,2xy,y叫做这个方程的二次项,x,y叫做一次项,6叫做常数项．

我们看下面的两个方程组：

22?x2?4y2?x?3y?1?0,??2x?y?1?0;22??x?y?20, ?22??x?5xy?6y?0.

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．

?x2?4y2?4?0,例1 解方程?

?x?2y?2?0.①②

分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题． 解：由②,得 x＝2y＋2， ③

把③代入①,整理,得 8y2＋8y＝0，即 y(y＋1)＝0． 解得 y1＝0，y2＝－1． 把y1＝0代入③, 得 x1＝2； 把y2＝－1代入③, 得x2＝0．

?x1?2,所以原方程组的解是 ?

y?0，?1?x2?0, ?y??1.?2说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．

?x?y?7,① 例2 解方程组 ?

② ?xy?12.解法一：由①，得 x?7?y. ③

把③代入②，整理，得y?7y?12?0， 解这个方程，得y1?3,y2?4． 把y1?3代入③，得x1?4；把y2?4代入③，得x2?3． 所以原方程的解是 ?2?x1?4,

?y1?3，?x2?3, ??y2?4.解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x,y看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x,y．

2这个方程组的x,y是一元二次方程z?7z?12?0的两个根，解这个方程，得z?3，或z?4．

所以原方程组的解是：??x1?4,?x2?3, ?

?y1?3;?y2?4.练 习

?x2?y2?13,1．下列各组中的值是不是方程组?的解?

x?y?5??x?2,?x?3,?x?1,?x??2,（1）? （2）? （3）? （4）?

?y?3;?y?2;?y?4;?y??3;

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2．解下列方程组:

?x2y22??y?x?5,?x?y?3,?1,?y?2x,??（1） ?2 （2）? （3） ?5 （4）?2 422??xy??10;?x?y?625;?x?y?8.?y?x?3;?

2.3.2 一元二次不等式解法

二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下： x y －3 6 －2 0 －1 －4 0 －6 1 －6 2 －4 3 0 4 6 由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知：当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0； 当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0；当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0．

这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么一元二次方程x2－x－6＝0的解就是x1＝－2，x2＝3；

同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到

一元二次不等式x2－x－6＞0的解是 x＜－2，或x＞3； 一元二次不等式 x2－x－6＜0的解是 －2＜x＜3．

上例表明：由抛物线与x轴交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集． 那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．

为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．

22

（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知

不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2； 不等式ax2＋bx＋c＜0的解为 x1＜x＜x2．

（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两

b

个相等的实数根x1＝x2＝－ ，由图2.3－2②可知

2a

b

不等式ax2＋bx＋c＞0的解为 x≠－ ； 不等式ax2＋bx＋c＜0无解．

2a2

（3）如果△＜0，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根， ２４

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由图2.3－2③可知

不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；不等式ax2＋bx＋c＜0无解． 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式． 例3 解不等式：

（1）x2＋2x－3≤0； （2）x－x2＋6＜0； （3）4x2＋4x＋1≥0； （4）x2－6x＋9≤0； （5）－4＋x－x2＜0． 解：（1）∵Δ＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是 x1＝－3，x2＝1．∴不等式的解为 －3≤x≤1． （2）整理，得 x2－x－6＞0． ∵Δ＞0，方程x2－x－6=0的解为 x1＝－2，x2＝3．

∴原不等式的解为 x＜－2，或x＜3． （3）整理，得 (2x＋1)2≥0. 由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数．

（4）整理，得 (x－3)2≤0.由于当x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意的实数x，(x－3)2＜0都不成立， ∴原不等式的解为 x＝3．

（5）整理，得x2－x＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．

例4 已知不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解是x?2,或x?3求不等式bx?ax?c?0的解． 解：由不等式ax2?bx?c?0(a?0)的解为x?2,或x?3，可知a?0，

2bcbc?5,?6，即 ??5,?6． aaaab2c222由于a?0，所以不等式bx?ax?c?0可变为x?x??0，即 －5x?x?6?0,整理得5x?x?6?0,aa则方程ax?bx?c?0的两根分别为2和3，?2

62所以，不等式bx?ax?c?0的解是 x＜－1，或x＞ ．

5说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．

例5 解关于x的一元二次不等式x?ax?1?0(a为实数).

分析：对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式?的符号,而这里的?是关于未知系数的代数式, ?的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对?的符号进行分类讨论. 解: ??a?4,

22?a?a2?4?a?a2?4,x2?. ①当??0,即a??2或a?2时, 方程x?ax?1?0的解是x1?222?a?a2?4?a?a2?4, 或x?所以,原不等式的解集为x?；

22a

②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为 x≠－ ；

2

③当??0,即?2?a?2时,原不等式的解为一切实数.

?a?a2?4?a?a2?4, 或x? 综上, 当a≤－2，或a≥2时，原不等式的解是 x?；

22 当?2?a?2时,原不等式的解为一切实数．

例6 已知函数y＝x2－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来． 分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行 分类讨论．

解：∵y＝(x－a)2＋1－a2，

∴抛物线y＝x2－2ax＋1的对称轴方程是x＝a．

（1）若－2≤a≤1，由图2.3-3①可知,当x＝a时，该函数取最小值 n＝1－a2； (2)若a＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x＝-2时，该函数取最小值 n＝4a+5；

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